This exam was taken by the 2020 cohort ( covid's cohort) , it contains 4 exercises ( Arithmétique, Structures ALgébriques,Nombres Complexes, Analyse de Fonction)
9 المعامل )شعبة العلوم الرياضية (أ) و (ب) (الترجمة بالفرنسية الشعبة أو المسلك
La durée de l’épreuve est de 4 heures.
L‘épreuve comporte (5) pages numérotées de 1/5 à 5/5
L’épreuve est composée de quatre exercices indépendants entre eux.
Le candidat doit traiter EXERCICE3 et EXERCICE4 et choisir de traiter
EXERCICE1 ou bien EXERCICE2.
Le candidat doit traiter au total trois (3) exercices :
EXERCICE1 qui concerne l’arithmétique (au
choix)......................................................3.5 points
- ou bien
EXERCICE2 qui concerne les structures algébriques (au
choix)…………………………..3.5 points
- EXERCICE3 qui concerne les nombres complexes
(obligatoire)……………………………..3.5 points
- EXERCICE4 qui concerne l’analyse
(obligatoire)……………...................................……..…13 points
L’usage de la calculatrice est strictement interdit
Tu choisis de traiter EXERCICE1 ou bien EXERCICE2
Tu traites obligatoirement EXERCICE3 et EXERCICE4
EXERCICE1 :(3.5 points/au choix)
(Si tu choisis de traiter EXERCICE1, il ne faut pas traiter EXERCICE2)
On considère dans ¢ ´ ¢ l’équation (D) : 7 x3 - 13 y = 5
1- Soit (x, y)Î ¢ ´ ¢ une solution de l’équation (D)
, الصفحة
2 NS 25 – الموضوع2020 الدورة العادية- االمتحان الوطني الموحد للبكالوريا
5 ) شعبة العلوم الرياضية (أ) و (ب) (الترجمة بالفرنسية- الرياضيات: مادة-
0.5 a) Montrer que x et 13 sont premiers entre eux.
0.5 b) En déduire que : x12 º 1 [13]
1 c) Montrer que : x3 º 10 [13]
0.5 d) En déduire que : x12 º 3 [13]
1 2- Déduire des questions précédentes, que l’équation (D)n’admet pas de solution dans ¢ ´ ¢
EXERCICE2 : (3.5 points/au choix)
(Si tu choisis de traiter EXERCICE2, il ne faut pas traiter EXERCICE1)
On note par Μ 2 (¡ ) l’ensemble des matrices carrées d’ordre deux.
æ1 0÷ö
On rappelle que (Μ 2 (¡ ),+ ,´ ) est un anneau non commutatif unitaire d’unité I = çç ÷
çè0 1÷
÷
ø
(
et que ¡ * ,´ ) est un groupe commutatif.
ìï æ1 x ö ü
On considère le sous-ensemble E de Μ 2 (¡ ) défini par : E = ïí ççç ÷/ xÎ ¡ et yÎ ¡ * ïïý .
÷
÷
÷
ïîï è0 yø ïþ
ï
0.5 1- a) Montrer que E est une partie stable de (M 2 (¡ ),´ )
0.5 b) Montrer que la multiplication n’est pas commutative dans E
æ - x÷ ö æ - x÷ ö
çç1 ÷ çç1 ÷
æ1 x ö ÷ ÷
y ÷ æ xö æ1 0ö
0.5
c) Vérifier que : (" x Î ¡ ) " y Î ¡ * ; çç ÷ ççç y ÷ çç
÷ ÷ çç1 ÷ çç ÷
( ) ÷´
÷
÷ çç
çè0 yø ÷
1 ÷
÷
= ç
çç ÷
1 ÷
÷
´
èç0
÷=
÷
÷
yø
÷
÷
÷
çè0 1ø
çç0 ÷
÷ çç0 ÷
÷
çè y ÷
ø èç y ÷
ø
0.5 2- Montrer que (E,´ ) est un groupe non commutatif.
ïì æ1 x- 1÷
ö * ïü
3- On considère le sous-ensemble F de E défini par : F = ïí M (x)= çç ÷
÷ / xÎ ¡ ïý
ïîï çè0 x ÷ø ïþ
ï
0.5
a) Montrer que l’application j définie par : " xÎ ¡ *( )
; j (x)= M (x) est un
homomorphisme de ¡ * ,´ ( ) vers (E,´ ) .
1 b) En déduire que (F ,´ ) est un groupe commutatif dont on précisera l’élément neutre.
EXERCICE3 :(3.5 points/obligatoire)
Soit m un nombre complexe non nul.
Première partie :
On considère dans £ l’équation d’inconnue z , (E ) : z3 - 2mz 2 + 2m2 z - m3 = 0
0.5 1- Résoudre dans £ l’équation (E ) ( On remarque que m est une solution de l’équation (E ) )
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