Class notes
Fonctions réelles
- Course
- Institution
Il s'agit d'un PDF avec des annotations concernant les interprétation du PDF et les formules usuelles. Le PDF traite des fonctions réelles dans sa globalité avec tous les théorèmes.
[Show more]
Seller
Follow
grgoirefoucault
Content preview
Fon ctio ns fR ~ fR1. Ens emb le de défi nitio n
L'en sem ble de défi nitio n de f est l'ens emb
le des vale urs de x telles qu'o n puis se effe ctive
f(x). Pou r cela, on rega rde les déno min ateu men t calc uler
rs, racin es, quot ients , loga rithm es, tang ente
s .. .
Le prob lème est plus com plex e pour une fonc '
tion défin ie par une intég rale
. lb(x) lb
f (t) dt ou. f (x, t) dt .
a(x) a
(De plus , si l'int égra le est géné ralis ée, il faut
mêm e cher cher les x tels que l'int égra le conv
erge ...) Ell\h 2
2. Mon oton ie
Défi nitio n : f est croi ssàn te sur I un inte rv_alle <=>(va, be I, a< b => f (a)~ f (b))
f est stric tem ent, croi ssan te sur I un intervalle
<=> (va, be I, . a< b => f(a) < f(b) )
Thé orèm e: f est déri vabl e sur I, un inte rval le,
f est croi ssan te sur I <=> f'(x);;,: 0 sur I
Thé orèm e : fdéri vabl e sur I, un inte rval le,
f'(x ) ~ 0 sur I et f' ne s'an nule qu'e n des
poin ts isolés, ⇒ f est stric teme nt croi ssan
te sur 1.
Cett e dern ière imp licat ion n'est pas une équi
vale nce ...
Thé orèm e: Une fonc tion crois s_ante , majo
rée sur [a, b[, adm et une limi te finie en b.
Thé orèm e: f cont inue , stric teme nt mon
De plus , 1-1 est alor s cont inue sur f (1).
oton e sur I un inter valle est une bijec tion
.
de I sur f (I).) k-fc-.l..1-
.
3. Lim ite et con tinu ité
Défi nitio n: limf (x) = l <=> VE> 0, 3a> 0,
x--+a lx-à l ~a ⇒ lf(x) - ll ~E.
Si, de plus ; l = f(a), on dit que f est cont inue
en a.
Défi nitio n: Prolonge1:1ent par continuité
Si lim/ (x) = l, et, si f n'est pas défin ie en
~
x-+a . a, alors qn défi nit f, la prol ongé e par cont inui té de f
.
par :
• f~( ) - l . .
. a - , . ~~1- o-\.. '.c,,. . :
• f(x) =/(x ) quan d x:;:. a. . 0 '.J-
~ Q.:. ~ "° .,Q.,.,. V ,.,. ,.L..J\
,~·
Tes t bien sûr cont inue en a! ~°"'~
1 On a une·autr e défi nitio n de limi te en +oo, ~}.::
qu'o n peut adap ter en -oo. -,.: ..- ~ - ~ . , . u . ~--~~~~n~~-•r·~~
"'
Qr - + ~
_Défi nitio n: lim f (x) = l <=> VE> 0, W ~ ~:L
x--++oo
3A > 0, x ;;,: A => If (x) - li ~ E.
On a enço re une défi nitio n quan d la limi te
est infin ie, qu'o n peut adap ter pou r une limi
te -oo.
Défi nitio n: lim f (x) = +oo <=>VA> 0, 3 '
x--+a a> 0, lx-a l ~ a ⇒ f(x) ~ A.
Et, enfin, une dern ière défi nitio n pou r une
limi te infin ie à l'infin~, qu'o n peut . . .
Déf initi on: lim
x--++oo
f (x) = +oo <=>VA:> 0, 3 B > 0, x~ B⇒ f (x) ;;J!: A.
Thé orèm e: Une fonc tion .adm etta nt une
limi te finie _en un poin t est born ée au vois
inag e de ce poin t.
\
, ~ C)... .,,,.,._,,_~ °"'"~~ tl"-
.. 00
~ fil-) = + = J- ~ ~e1.u ~ ~c.t oœ-~~ Q,.. + C()
ên~-~
~( ).\ -= _::!_ ~ ")_ - 2..
:X ---:1..
fJ t -= IR .\ 1 -1 ]
tJ cc,...lr,.i.,& J.- ~NJ.,l_ n\4\. ] - ~ Î ~ [ v\, J '\-+ Cf' [
~ rl ·~ ~ :
~ ~ r ).' -:: +
.,., ....
oO ~- ~~
..,i-
~\:i.\ -:: - <X·
..., //
0- y f.,n ~J,~..
-r-~\-... ~c,-_ ~- 6 r--. . ,.)- -1-- /YV'c.i~
)1~ ~,..,_ . tîr fNJU-li Q,- + = (J""1. C/\~G.'lü ~cr-,-(_
O ,_ t c,JU. \ ~ ) _, 'ô~- ~ - 2
~= ~H - {.>. -i) -;; ~= ;_,, -: o+ Cc,,, t,.,.. cr~) -(
-\. Cl:)
i.. - 2) ">o
Î). r;r.i_ { J) J- ~ ~ - ~'c,.(J._ ch ~ q,..... + a<)
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller grgoirefoucault. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $5.96. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
79223 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now