Fundamenten van de wiskunde - uitwerkingen inleveropgave week 3
8 views 0 purchase
Course
Fundamenten van de Wiskunde
Institution
Universiteit Utrecht (UU)
Ook als de inleveropgave veranderd is, is dit natuurlijk nog steeds een heel goede oefening om de stof te begrijpen! Ik heb zelf erg genoten van het vak Fundamenten van de Wiskunde.
√
Gegeven: reëel getal 3 + 1.
√ √
Te bewijzen: 3 + 1 is niet rationaal ( 3 + 1 ∈ / Q) via een bewijs uit het ongerijmde.
√
Bewijs. Neem √ voor een tegenstelling aan dat 3 + 1 ∈ Q.
Dan geldt dat 3 + 1 = ab voor gehele getallen a en b met b 6= 0.
√
Hieruit volgt dat 3 = ab − 1 = ab − bb = (a−b) b . Omdat (a − b) en b gehele getallen zijn met
√ (a−b)
b 6= 0, kunnen we concluderen dat 3 = b ∈ Q.
√ √
Merk op dat 3 6= 0 en dat √ 3 rationaal is, hierdoor kunnen we zonder verlies van alge-
meenheid concluderen dat 3 = dc met c en d gehele getallen ongelijk aan 0 waarbij de enige
gemeenschappelijke delers van c en d de getallen 1 en −1 zijn (overige delers kunnen namelijk
worden weggedeeld). √ √
Verder impliceert 3 = dc dat 3 · d = c en kwadrateren geeft dat 3d2 = c2 .
Aangezien d2 een geheel getal is geldt 3 | 3d2 en aangezien 3d2 = c2 geldt 3 | c2 . Aangezien 3
een priemgetal is geldt dat de enige positieve delers van 3 de getallen 1 en 3 zijn.
Hierdoor weten we dat als 3 geen deler is van c dan is deze ook geen deler van c · c = c2 ,
dit is echter niet het geval en daarom geldt 3 | c. We kunnen dus schrijven c = 3k voor een
geheel getal k. Hiermee volgt uit 3d2 = c2 dat 3d2 = (3k)2 = 9k 2 wat impliceert dat d2 = 3k 2 .
Omdat k 2 een geheel getal is weten we dat 3 | d2 en zoals eerder uitgelegd volgt hieruit dat
3 | d. Hiermee hebben c en d de gemeenschappelijke deler 3.
Dit geeft echter een tegenspraak met het feit dat de enige gemeenschappelijke delers van c en
d de getallen 1 en −1 zijn. √
Hieruit kunnen we concluderen dat de aanname 3 + 1 ∈ Q incorrect moet zijn en dus dat
√
3+1∈ / Q.
1
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller marjavdwind. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $3.77. You're not tied to anything after your purchase.
