Samenvatting wiskunde : complexe getallen : goniometrische vorm van een complex getal

H2 GONIOMETRISCHE VORM VAN EEN COMPLEX GETAL

2.1 GONIOMETRISCHE VORM

2.1.1 HET COMPLEX VLAK

beeldpunt Het punt op een cartesiaans assenstelsel
Reële as x-as
Imaginaire as y-as
Complexe vlak Het vlak dat we gebruiken om complexe
getallen door punten voor te stellen
= Vlak van Gauss
2.1.2 MODULUS EN ARGUMENT VAN EEN COMPLEX GETAL

Modulus De afstand r van het punt P tot de oorsprong O
notatie IzI
formule r=√ a2 +b 2
argument Elke hoekθ die de halfrechte OP maakt met de
positieve x-as
formule tanθ = b/a ¿−180° , 180 °¿ ¿
2.1.3 GONIOMETRISCHE VORM VAN EEN COMPLEX GETAL

Wat is de goniometrische vorm R(cos θ + sin θ i)
Wat is de somschrijfwijze A+bi
2.1.4 PRODUCT EN SUOTIÊNT VAN COMPLEXE GETALLEN IN GONIOMETRISHCE VORM

Product : z 1∗z 2 r 1 r 2 (cos ( θ 1+θ 2 ) +i∗sin ( θ1 +θ2 ) )
bewijs : z 1∗z 2 = r 1 ¿) * r 2 ¿)
= r 1 r 2(cos θ 1 cos θ 2−sin θ1 sinθ 2+i ¿)
= r 1 r 2 (cos ( θ 1+θ 2 ) +i∗sin ( θ1 +θ2 ) )
z1 r1
= = cos ( θ 1−θ2 ) +i∗sin ( θ 1−θ2 )
z2 r2
bewijs z1
=r ¿
z2 1 ¿¿
= r 1 ¿¿ ¿
r1
= * cos θ 1 cos θ 2+ sinθ 1 sin θ2 +i ¿ ¿
r2
r1
= cos ( θ 1−θ2 ) +i∗sin ( θ 1−θ2 )
r2
2.2 MACHTEN EN N-DE MACHTSWORTELS IN C

2.2.1 MACHT VAN EEN COMPLEX GETAL

r (cos n* θ + sin n * θ )
n n
z =
2.2.2 N-DE MACHTSWORTELS VAN EEN COMPLEX GETAL

definitie Stel w,z ϵ C en n ϵ N 0, dan geldt :
W is een n-de machtswortel van z  w n = z
De n-de machtswortel van z = θ0 + k 360 ° θ0 +k 360 °
√n r 0(cos n
+i sin
n
) met k ϵ Z