Samenvatting Kennisbasis Rekenonderwijs | Hele getallen
14 views 2 purchases
Course
Kennisbasis Rekenonderwijs
Institution
Hogeschool Viaa (Viaa)
Uitgebreide en volledige samenvatting van het boek 'Reken- en wiskundedidactiek - Hele Getallen'. 5361. Uitstekend te gebruiken ter voorbereiding van de kennisbasistoets rekenonderwijs.
Hele Getallen
Hoofdstuk 1 | Hele getallen
§ 1.1 | Hele getallen
Getallen zijn zo onmisbaar, dat de samenleving zonder getallen onmiddellijk tot stilstand
zou komen. Meeste getallen zijn onzichtbaar. Maar iedere wereldburger moet kennis
hebben van getallen om in de wereld te kunnen functioneren. Getallen helpen je om de
wereld te ordenen, structureren en te organiseren. Getallen komen in het dagelijks leven
in veel verschillende situaties en betekenissen voor. Betekenis van een getal hangt af
van de verschijningsvorm of functie van het getal. Getallen gebruik je bijvoorbeeld
om te nummeren, te tellen of om aantallen aan te geven. Telgetal of ordinaal getal:
rangorde aan een telrij (1, 2, 3 en eerste, tweede, nummer 3). Hoeveelheidsgetal of
kardinaal getal: aangeven bepaalde hoeveelheid (buslijn 4). Meetgetal geeft een maat
aan: ik ben 5 jaar, het is 4 meter etc. Formeel getal: kaal rekengetal zoals in een
rekenopgave.
Getallen
Met de getallen waarmee we tellen (natuurlijke getallen) kun je ook rekenen: optellen
en aftrekken. Uitkomsten: natuurlijke getallen, behalve 24-52, maar dat worden negatieve
getallen. Kunnen kinderen vaak al begrijpen doordat ze negatieve getallen kennen als
meetgetal. Leren met negatieve getallen vindt vooral in onderbouw van het VO plaats.
§ 1.2 | Ons getalsysteem
Getallen kunnen op verschillende manieren worden weergegeven: Arabische of Romeinse
cijfers. Systeem om getallen in een rij cijfers weergeven: talstelsel, getallenstelsel of
getalsysteem. Ons getalsysteem is rond 1202 door Leonardo van Pisa in West-Europa
geïntroduceerd. Duurde tot de 14e eeuw totdat het decimale stelsel met de Hindoe-
Arabische cijfers door iedereen werd gebruikt. Voor goed onderwijs: bewustzijn van
eigenschappen decimale stelsel.
Eigenschappen van het getalsysteem
Arabische getalsysteem: decimale structuur. Het bestaat uit cijfers 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9. Hiermee kunnen alle getallen geschreven worden door gebruik te maken van een
cijfer in een getal. Getal bestaat uit één of meer cijfersymbolen: getal 257 bestaat uit
2, 5, en 7. De plaats of positie van een cijfer in dit rijtje bepaalt de waarde van het cijfer
(plaatswaarde of positiewaarde). 2 in 257 is 200 waard, 5 is 50 waard. Deze manier
van noteren is kenmerkend voor een positioneel getalsysteem. Soms deels positioneel:
Maya’s symbolen (1-19). In ons getalsysteem neemt het cijfer 0 een belangrijke plek in:
zorgt voor correcte positie van een cijfer.
Uit de geschiedenis van getalsystemen
Egyptische getalsysteem: plaatjes en streepjes. Dagelijks leven: sporen van
Romeins getalsysteem (V/X/L/C/D/M). Zijn voorbeelden van een additief
systeem waarin de waarde van het voorgestelde getal bepaald wordt door het
totaal van symbolen. Nieuw-Romeinse getalsysteem: substractief principe: als
een symbool met een kleinere waarde voor een symbool met een hogere waarde
staat, wordt de waarde van het eerste symbool afgetrokken van de waarde van
het tweede symbool. Maar beide varianten werden niet consequent gebruikt.
Andere afspraak: cijfers V, L, D maar 1 keer voorkomen.
,Andere talstelsels
Ook andere getalsystemen: binaire talstelsel (tweetallig) en hexadecimale talstelsel
(zestientallig), sexagesimale talstelsel (zestigtallige) of Babylonische getalsysteem is
terug te vinden in onze tijd- en hoeksmeting. Al deze talsystemen onderscheiden zich van
het decimale talstelsel doordat ze een andere basis hebben: binaire tweetallige
bundeling. Hexadecimale talstelsel –> basis zestien, sexagesimale talstelsel basis 60.
Geschiedenis van tijdsindeling: tijdens Franse Revolutie werd het metriek stelsel
ingevoerd: elke eenheid in stappen van tien wordt groter of kleiner. Dag werd verdeeld in
10 uur, een uur in 100 minuten en een minuut in 100 seconden. Maar niet lang in gebruik
geweest.
§ 1.3 | Eigenschappen van getallen
Deelbaarheid
Splitsen en ontbinden zijn belangrijke vaardigheden bij het rekenen met hele getallen. Bij
ontbinden gebruikmaken van deelbaarheid van getallen. Getal is deelbaar door een ander
getal als de rest bij de deling gelijk is aan 10. Deze eindigen allemaal op een 0.
Deelbaarheid door 5 is ook makkelijk.
Priemgetallen
Priemgetal is een getal dat alleen zichzelf en het getal 1 als deler heeft: strookgetal.
Getallen kun je ontbinden in factoren. Ontbinden: zoeken naar getallen die met elkaar
vermenigvuldigd weer het oorspronkelijke getal oplevert. Getal 85: priemfactoren 5 en 17.
- GGD en KGV: GGD: grootst gemeende deler. Grootste getal dat deler is van twee
of meer hele getallen. Bij het zoeken daarna kun je gebruik maken van de
ontbinding in priemfactoren. KGV staat voor kleinste gemene veelvoud:
kleinste getal dat veelvoud is van twee of meer getallen.
Volmaakte getallen
Positief getal dat gelijk is aan de som van zijn delers, behalve zichzelf. 6 is een volmaakt
getal. Als je de delers optelt (1, 2, 3), kom je op 6 uit. De 2 getallen onder 100 die
volmaakt zijn: 6 en 28, daarna 496.
Figurale getallen
Getallen die je in een strippenpatroon kan leggen, zoals een driehoek, vierkant, piramide
of kubus. Zo heb je driehoeksgetallen, rechthoeksgetallen en vierkantsgetallen.
Vierkantsgetal is een bijzonder rechthoeksgetal: namelijk als beide zijden van de
rechthoek gelijk zijn.
§ 1.4 | Basisbewerkingen
Betekenissen van bewerkingen
Betekenissen van basisbewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen
kunnen uit allerlei (alledaagse) situaties worden afgeleid. Optellen: samennemen,
aanvullen, toevoegen. Aftrekken: eraf halen, weghalen, wegnemen, verminderen,
wegdenken en verschil bepalen tussen twee getallen (wordt zichtbaar door denkstappen
te visualiseren m.b.v. modelmatige representatie). Vermenigvuldigen: herhaald
optellen, oppervlakte bepalen, combineren, gelijke sprongen maken, op een schaal
vergroten. Delen: herhaald aftrekken, opdelen (50 knikkers, 10 knikkers in 1 zakjes,
hoeveel zakjes?), verdelen (knikkers onder kinderen verdelen).
,Eigenschappen van bewerkingen
Gebruikmaken van diverse eigenschappen van bewerkingen. Wie deze eigenschappen op
een flexibele wijze kan inzetten, heeft daar profijt van. Bij optellen en vermenigvuldigen:
commutatieve eigenschap: termen (optellen) of factoren (vermenigvuldigen) mag
verwisselen/volgorde veranderen. Wisseleigenschap geldt niet voor aftrekken en delen.
Ook associatieve eigenschap (schakeleigenschap). Bij optellen en vermenigvuldigen
van drie of meer getallen kun je kiezen welke getallen je eerst optelt/vermenigvuldigt.
Optellen aftrekken, vermenigvuldigen en delen: distributieve eigenschap of
verdeeleigenschap. En inverse relatie tussen optellen en aftrekken en tussen
vermenigvuldigen en delen benutten. 56/8 = 7 en 17-9 = 8, want 8 + 9 = 17.
§ 1.5 | Wiskundetaal bij hele getallen
Uitspraak en notatie van hele getallen
Getallen kunnen worden aangeduid in cijfersymbolen en met woorden. Belangrijk dat in
het Nederlands de volgorde van noteren in cijfersymbolen verschilt van de volgorde van
uitspreken en schrijven in woorden. Uitzondering van jaartallen. Als je getallen in woorden
uitspreek, geldt de systematiek van het decimale positionele getalsysteem. Niet
consistent: na twintig komt eenentwintig. En er zijn meer uitzonderingen. Doorgaans
worden grote getallen uitgesproken van links naar rechts in groepjes van drie cijfers. Maar
getallen met 4 cijfers worden anders uitgesproken. Getallen zonder honderdtallen worden
iet gegroepeerd.
Relaties tussen getallen en hoeveelheden
Aanduiden relatie: mee/minder, evenveel/bijna, ruim/afgerond en gemiddeld. Betekenis is
verschillend.
Taal van bewerkingen
Bewerking bestaat uit verschillende termen en
functies: termen zijn vaak getallen, maar kunnen ook
letters zijn en functies geven aan wat er met die termen
gebeurt zoals + of -. Ook kun je aangeven welk getal
een operator is en welk getal een operand is.
Operator bewerkt operant. Bij 6 x 3 is 6 de
operator en 3 de operand. = -teken: aan beide zijden van dit teken wordt een gelijkheid
weergegeven. In het verlengde < (kleiner dan) en > (groter dan): zegt iets over
hoeveelheid aan de ene kant van het teken ten opzichte van de hoeveelheid aan de
andere kant van het teken.
, Hoofdstuk 2 | Ontluikende gecijferdheid
§ 2.1 | Schets van de leerlijn tellen en getalbegrip
§ 2.2 | Elementaire getalbegrip
Jonge kinderen zijn geïnteresseerd in bijna alles wat in hun omgeving gebeurt. Kleuters
kijken met aandacht, verwondering en nieuwsgierigheid naar de wereld. Kinderen willen
weten hoe dingen in elkaar zitten en hebben van nature een onderzoekende houding. Bij
ontwikkeling van het elementair getalbegrip speelt het leren tellen een rol: verkennen van
verschillende betekenissen en functies van getallen en verkennen van opbouw van
getallen. Al op jonge leeftijd zijn kinderen gefascineerd door tellen en getallen. Door
allerlei activiteiten in voor kinderen betekenisvolle situaties zijn ze bezig met het
verkennen van getallen en getalrelaties. De kinderen krijgen steeds meer grip op omgaan
met de telrij, hoeveelheden en getallen. Oriëntatie van kinderen op de wereld omvat veel
wiskundige elementen. Denk aan getallen, meten, ruimte en tijd. Bij wiskundige
wereldoriëntatie gaat het om het leren van reken-wiskundige begrippen en het
vergroten van handelingsmogelijkheden van kinderen. Vindt plaats in betekenisvolle
situaties en in de basisschool is dit een rijke leeromgeving. Rijke leeromgeving is een
omgeving die uitnodigt om activiteiten te ontplooien in voor kinderen betekenisvolle
situaties waaruit een wiskundig proces wordt op een ‘natuurlijke’ manier ontstaat. Denk
aan in de huishoek, samen soep maken, postbussen, spelletjes. Het is de kunst van een
leerkracht om kansrijke momenten op het gebied van wiskundige wereldoriëntatie te
herkennen en te benutten. Benutten: stellen van een prikkelende vraag, om zo
ontwikkeling te lokken en te stimuleren. Ook kan een leerkracht meespelen in een
rollenspel of (spel)situaties creëren die kinderen nog eens extra prikkelen om dingen te
onderzoeken. Het is belangrijk kinderen uit te dagen hun vaardigheden verder te
ontwikkelen. Zo wordt het leerproces gestimuleerd en breidt het kind zijn kennis steeds
verder uit. Leerkracht zorgt dat hij steeds aansluit bij de zone van naaste ontwikkeling:
bij dat wat de leerling zonder begeleiding nog niet kan doen, maar met begeleiding al wel.
Dit betekent dat de leerkracht precies die situaties creëert en die vragen stelt aan het
kind om ze zo steeds een stapje verder te brengen in zijn ontwikkeling.
Leren tellen
Door veel te tellen, bijvoorbeeld door zingen, krijgen kinderen steeds meer grip op de
telrij. Doordat de kinderen de namen en volgorde van getallen door speels inoefenen, lukt
tellen tot 10 en verder als snel. Groep 1 en 2: tellen niet beperkt tot 10.
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller anne-185741. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $7.56. You're not tied to anything after your purchase.
