Interview
SToznice - matematika
- Course
- Institution
vse o stoznicah, razalge in formule.
[Show more]
Seller
Follow
lanasetnikar
Content preview
Stožnice (3.letnik – matematika)Iz ravninske geometrije in splošnih zakonitostih ravnin se je porodila tudi ideja o tako imenovanih stožnicah.
Stožnice so v matematiki dvorazsežna presečna (ali krivulje drugega reda) krivulja, ki nastane, če se preseka
krožni stožec z ravnino. Dejansko to pomeni, da z ravnino lahko ,,presekamo'' stožec na različne načine. Nato
bi dobili različne preseke oz. množico skupnih točk (presečišče) in od tod dobimo tudi različne krivulje. Ker
so te krivulje nastale s pomočjo preseka ravnine in stožca, se zato takšne krivulje imenujejo stožnice.
To so v bistvu krivulje drugega reda, ki v svojem zapisu vsebujejo kvadratno enačbo (ta enačba ji zadošča),
ki je takšne oblike:
𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Za opis krivulje drugega reda s to enačbo je potrebno upoštevati dvoje:
- za vsa števila, ki so označena z velikimi tiskanimi črtami velja, da sodijo med realna števila
- število A, B ali C (to so koeficienti) mora biti obvezno različno od nič, saj bi v nasprotnem primeru šlo za
premico, ki pa je krivulja prvega reda (njo namreč opisujemo z linearno funkcijo)
S stožnicami so se ukvarjali predvsem stari Grki, kjer je med njimi najbolj izstopal
matematik Apolonij. Ta je predstavil celotno bistvo stožnic v knjigi ,,O stožnicah
(Razprava o končnih presekih)''.
Če dobro pogledamo enačbo 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 lahko
ugotovimo naslednjo stvar:
Urejeni pari (x, y), ki zadoščajo enačbi glede na izbiro koeficientov, predstavljajo
devet različnih tipov množic točk. To pomeni, da bi z različnim vstavljanjem
vrednosti za spremenljivki x in y dobili več verjetnih množic točk. Le – teh jih je
vsega skupaj devet.
Možnosti med devetimi množicami točk so lahko:
- krivulje drugega reda (krožnica, elipsa, hiperbola in parabola)
- dve nevzporedni premici, ki sta sekajoči se med seboj (to lahko dosežemo tako, da vzamemo dva stožca,
ravnino pa postavimo pravokotno na osnovni ploskvi teh dveh stožcev tako, da poteka tudi čez njun vrh)
- dve vzporedni premici
- ena, dvakrat šteta premica (to bi dobili tako, da bi vzeli dva narobe obrnjena stožca, ravnino pa bi
postavili tako, da bi ležala na sosednjih oseh stožcev)
- točka (če bi bila rešitev kvadratne enačbe za določen x in y enaka natanko 0)
- prazna množica (zgolj v primeru, če bi bila rešitev kvadratne enačbe manjša od 0)
Najpomembnejši so predvsem prvi štirje primeri. To so algebrske krivulje drugega reda, ki jih imenujemo
stožnice. Krivulje nastanejo pri preseku stožca z ravnino.
- Krožnica nastane, če je presečna ravnina vzporedna z osnovno ploskvijo stožca. Naklonski kot je pri tem
enak 0°, saj je ravnina vzporedna z osnovno ploskvijo stožca. Presek med njima pa predstavlja krožnico.
- Elipso dobimo, če stožcev presekamo z ravnino pod kotom, ki je manjši od naklonskega kota stranice
stožca. Torej naklonski kot presečne ravnine s stožcem mora biti manjši od kota med stranskim in
osnovnim robom stožca.
- Če hočemo dobiti parabolo, mora biti naklonski kot presečne ravnine na osnovno ploskev enak
naklonskemu kotu med stranskim in osnovnim robom stožca.
- Za hiperbolo potrebujemo dvojni stožec s skupnim vrhom, nanju pa mora biti pravokotno postavljena
presečna ravnina. Ravnina naj načeloma ne prehaja skozi vrh stožcev, saj s tem dobimo dve premici.
, Vse naštete krivulje, ki zadoščajo enačbi 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0, imenujemo stožnice, ker
jih ponazorimo s preseki enojnega ali dvojnega stožčastega prostora z ravninami, ki ta prostor sekajo pod
različnimi koti.
Realna števila od A do F so koeficienti enačbe in od teh koeficientov bo tudi odvisno, za katero stožnico bo
šlo v določenem primeru. Ti koeficienti skupaj z neznankami sestavljajo:
- Kvadratne člene 𝐴𝑥 2 , 𝐵𝑥𝑦 in 𝐶𝑦 2 , od katerih bo zelo odvisno, za katero stožnico bo šlo (naj ne pozabimo,
da morajo biti koeficienti A, B ali C različni nič; torej vsaj en koeficient ne sme biti 0)
- linearna člena 𝐷𝑥 in 𝐸𝑦, ki ne bosta imeli toliko moči pri določanju stožnice
- prosti člen F, ki sicer pri stožnicah ne bo igral pomembne vloge
Stožnice, ki si jih bomo v nadaljevanju pogledali, so:
IME STOŽNICE POGOJ ZA NASTANEK STOŽNICE SLIKA
KROŽNICA Krožnico dobimo na zelo preprost način. Vse, kar
je potrebno narediti, je ravnino postaviti
vzporedno s stožcem tako, da ga obenem tudi
seka vzporedno. Na tak način nastane krožnica
kot presek obeh.
ELIPSA Elipsa je presek stožčevega plašča z ravnino, ki
ne gre skozi vrh stožca in oklepa kot stožca tako,
da je kot med obema roboma stožca večji od
kota med ravnino in stožcem.
HIPERBOLA Hiperbola je presek stožčevega plašča z ravnino,
ki ne gre skozi vrh stožca in oklepa pravi kot z
obema osnovnima ploskvama stožcev. Pri tem
ne pozabimo, da potrebujemo dva stožca.
PARABOLA Parabola je presek stožčevega plašča z ravnino,
ki ne gre skozi vrh stožca in je vzporedna z
stranskim robom stožca. To pomeni, da je
naklonski kot med str. in osn. robom enak med
ravnino in stožcem.
a) KROŽNICA
Definicija: Krožnica je množica točk v ravnini, ki so enako oddaljene od izbrane točke S (središče kroga). Ta
razdalja je polmer krožnice.
Krožnico označimo s takšno oznako, ki sicer še ni njen predpis:
𝐾 = {(𝑥, 𝑦); 𝑑(𝑇, 𝑆) = 𝑟}
- Središče krožnice označimo s črko S.
- Oddaljenost od središča do izbrane točke na krožnici se imenuje
polmer ali radij. Označimo ga z malo črko r.
LEGENDA:
𝑟 – radij ali polmer
𝑑 = 2𝑟 – diameter ali premer
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller lanasetnikar. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $10.92. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
76462 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now