100% satisfaction guarantee Immediately available after payment Both online and in PDF No strings attached
logo-home
Previously searched by you
Previously searched by you
logo
Samenvatting - Analyse: pre-calculus hfst 2-7 $4.08
Add to cart
Quickly navigate to
Preview
  2.  
  3. Universiteit Gent (UGent)
  4.  
  5. Bio Ingenieurswetenschappen
  6.  
  7. Analyse: functies van één variabele

Summary

Samenvatting - Analyse: pre-calculus hfst 2-7

1 review
 3 purchases
  • Course
  • Analyse: functies van één variabele
  • Institution
  • Universiteit Gent (UGent)

De perfecte handleiding tijdens het studeren van wiskunde!! Analyse: pre-calculus, 1ste bach bio-ingenieur Ugent - Jan Baetens. Bevat hfst 2-7: Verzamelingen en getallen, functies, algebraïsche functies + parabool, ellips, hyperbool, transcendente functies met overzichtelijke tabellen van...

[Show more]

Preview 7 out of 30  pages

Document information

  • December 27, 2023
  • 30
  • 2023/2024
  • Summary

Subjects

  • verzamelingen
  • algebraïsche functies
  • transcendente functies
  • arcfuncties
  • hyperbolische functies
  • vectoren
  • vlakken
  • rechten
  • kegelsnedes
  • afgeleide hyperbolische functies

Written for

  • Universiteit Gent (UGent)
  • Bio Ingenieurswetenschappen
  • Analyse: functies van één variabele
All documents for this subject (2)

1  review

review-writer-avatar

By: emiliamenschaert • 3 months ago

Seller

avatar-seller
GregTheBioEngineer

Reviews received

Content preview

HOODSSTUK 2: Verzamelingen en getallen - Analyse: functies van één variabele



HOOFDSTUK 2: Verzamelingen en getallen
Verzamelingen:
▪ X^Y X en Y
▪ XvY X of Y

Verzameling : gedefinieerde collectie van objecten die we elementen noemen: als zin of als {} noteren

Geordende verzameling : komt relatie bij kijken, bv ∀x,y ∈ S geldt x < y, x = y en y < x

▪ Doorsnede 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥|(𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵)}
▪ Unie 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥|(𝑥 ∈ 𝐴) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵)}
▪ Complement 𝐴̅ = {𝑥 ∈ 𝑈|𝑥 ∉ 𝐴}
▪ Verschil 𝐴 ∖ 𝐵 = {𝑥|(𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∉ 𝐵)}
▪ Symmetrisch verschil 𝐴 ⊕ 𝐵 = {𝑥|(𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵) ∧ (𝑥 ∉ 𝐴 ∩ 𝐵)}
▪ Cartesisch product 𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑏)|(𝑎 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵)}



Eigenschappen

▪ Commutativiteit 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴, 𝑧𝑒𝑙𝑓𝑑𝑒 𝑔𝑒𝑙𝑑𝑡 𝑣𝑜𝑜𝑟 𝐴 ∪ 𝐵
▪ Associativiteit 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶, 𝑧𝑒𝑙𝑓𝑑𝑒 𝑔𝑒𝑙𝑑𝑡 𝑣𝑜𝑜𝑟 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶)
▪ Distributiviteit 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶), 𝑧𝑒𝑙𝑓𝑑𝑒 𝑔𝑒𝑙𝑑𝑡 𝑣𝑜𝑜𝑟 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)
▪ Identiteitswetten 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴 𝑒𝑛 ∩ 𝑈 = 𝐴
▪ Complementwetten 𝐴 ∪ 𝐴̅ = 𝑈 𝑒𝑛 𝐴 ∩ 𝐴̅ = ∅ = {}
▪ Wetten van De Morgan ̅̅̅̅̅̅̅
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴̅ ∩ 𝐵̅ 𝑒𝑛 ̅̅̅̅̅̅̅
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴̅ ∪ 𝐵̅



Begrenzing

➢ Bovengrens b als voor alle x in U geldt dat x ≤ b, met kleinste bovengrens β ≤ b = supremum = sup A
➢ Ondergrens b als voor alle x in U geldt dat x ≥ a, met grootste ondergrens α ≥ a = infimum = inf A




Verzameling van de reële getallen
Intervallen

▪ Randpunt = als je een cirkel er rondtrekt krijg je altijd een punt binnen en buiten het interval
▪ Inwendig punt = als je een cirkel er rondtrekt krijg je altijd punten binnen het interval
▪ Ophopingspunt = een punt dat niet tot het interval behoort maar er wel in ligt, deze maakt limiet mog
▪ Geïsoleerd punt = punt dat tot het interval behoort maar als los punt ligt
▪ Open, gesloten, begrensd interval




In dit voorbeeld is b geen deel van de deelverzameling, dus ook geen inwendig punt

,HOODSSTUK 2: Verzamelingen en getallen - Analyse: functies van één variabele



Rekenen met reële getallen
Optelling en vermenigvuldiging

▪ Algebraïsch gesloten (inwendigheid)
▪ Commutatief
▪ Associatief
▪ Neutraal element
▪ Invers element
▪ Distributief *aftrekking en deling niet commutatief en associatief

 Krijgt veld als aan de axioma’s voldaan zijn, geordend veld indien elementen geordend zijn



Handige identiteiten (om product en som te vereenvoudigen)

 Herschrijf de vorm tussen haakjes
 Probeer zaken voorop te schrijven
 Schrijf de som / het product uit en zoek een patroon




Complexe getallen

Complex getal c: a + bi met √−𝑐 = i√𝑐

Complex toegevoegde : a – bi → imaginair deel in noemer wegwerken → Z . Z = a² + b²

Imaginaire eenheid : i = √−1 met i² = -1

, HOOFDSTUK 3: Functies - Analyse: functies van één variabele


HOOFDSTUK 3: Functies
Het cartesisch coördinatenstelsel
x-as en y-as ➔ punt P beschrijven adhv coördinaten in een geordend koppel P(x,y)

Oorsprong en 4 kwadranten



Functies
x = het argument met overeenkomstig beeld y




Hebt input x, steekt het in een functie en krijgt output y, f beeld het domein X af op codomein Y

▪ X = domein (alle mogelijke inputs)
▪ Y = codomein (alle mogelijke outputs)
▪ im f = bereik (beeld) (verzameling waar f het domein uiteindelijk naar stuurt)

Verticale rechte test → mag hoogstens één snijpunt hebben met de functie, dan is y een functie van x



Expliciete functie: y = f(x)

Impliciete functie: bv y² = x² + 4



▪ Injectief
 Op elk element van het codomein wordt er hoogstens één element van het domein afgebeeld (kan 0 zijn)
▪ Surjectief
 Op elk element van het codomein wordt er minstens één element van het domein afgebeeld (kan 2 zijn)
 Als beeld f = codomein f
▪ Bijectief
 Op elk element van het codomein wordt er exact één element van het domein afgebeeld



Even functie f(-x) = f(x) => spiegelbeeld rond y-as

Oneven functie f(-x) = -f(x) => spiegelbeeld rond oorsprong



Gedrag van functies

▪ Stijgend : x1 ≤ x2 => f(x1) ≤ f(x2)  Strikt stijgend <
▪ Dalend : x1 ≤ x2 => f(x1) ≥ f(x2)  Strikt dalend >
▪ Constant : x1 ≤ x2 => f(x1) = f(x2)
▪ Begrensd
 Minimum : lokaal of absoluut
 Maximum : lokaal of absoluut

,HOOFDSTUK 3: Functies - Analyse: functies van één variabele


Samengestelde functies

(g°f)(x) = g(f(x)) → output van ene als input van de andere

 Voorwaarde: x ∈ dom f en f(x) ∈ dom g



Periodiciteit:

Functie is periodiek als f(x + p) = f(x), kleinste positieve waarde voor p is de fundamentele periode



Transformaties op y = ax + b

▪ Horizontale verschuiving (x – a)
▪ Verticale verschuiving (b)
▪ Spiegeling (rond y-as : y = f(-x) en rond x-as : y = -f(x))
▪ Verticale uitrekking/inkrimping (a > 1 : uitrekking  0 < a < 1 : inkrimping)
▪ Horizontale uitrekking/inkrimping (0 < b < 1 : uitrekking  b > 1 : inkrimping)



Soorten functies

▪ Algebraïsche functies : kunt deze definiëren als de wortel van een veeltermvergelijking
 Machtsfuncties
 Veeltermfuncties
 Rationale functies
 Irrationale functies
 Stuksgewijs gedefinieerde functie

▪ Transcendente functies : overstijgt de algebra
 Exponentiële functies
 Logaritmische functies
 Goniometrische functies
 Hyperbolische functies
 Samengestelde functies

▪ Absolutewaardefuncties



Absolutewaardefuncties → alles onder de x-as wordt nr boven
gespiegeld
IabI = IaI IbI Berekeningen:

IanI = IaIn Voor het verloop en het gedrag, splits de functie op

Ia/bI = IaI/IbI IxI => -x en x

Schrijf alle gevallen uit dan, rekening houdend met de domeinen

Driehoeksongelijkheid

De kortste afstand tussen twee punten op de getallenlijn is altijd kleiner dan of gelijk aan de som van de afstanden
van die punten tot het nulpunt

Ia + bI ≤ IaI + IbI

,HOOFDSTUK 3: Functies - Analyse: functies van één variabele


Inverse functies
De inverse van een functie f(x) = f-1(x) waarbij (x,y) → (y,x) ➔

 de inverse een functie is over het bereik Y

 f moet injectief zijn om een inverse functie te kunnen bekomen
(geen meerdere afbeeldingen op zelfde punt in Y)



Inverse bekomen door te spiegelen rond y = x ➔ x in y veranderen en omgekeerd, dan herschrijven als y =



Dom f => Im f-1 en Im f => dom f-1



Inverse functie is uniek voor een welbepaalde functie : uniciteit



Inverse functie bepalen

▪ Verander x in y en visa versa
▪ Zonder y af
▪ Houdt rekening met de domein beperkingen
▪ Stel y = x² → dan is de inverse x = ±√𝑦 → y = ±√𝑥

, HOOFDSTUK 4: Algebraïsche functies
Veeltermfuncties
▪ Constante en lineaire functie
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑓(𝑥) = 𝑎
Formule om functie te bepalen met 2 punten

𝑦 −𝑦 𝑦2 −𝑦1
𝑦 − 𝑦1 = 𝑥2 −𝑥1 ⋅ (𝑥 − 𝑥1 ) met 𝑥2 −𝑥1
= de rico
2 1




▪ Kwadratische functie
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = algemene vorm,
. standaardvorm: y = a(x +c)² + b
Parabool met top (-b/2a, y) . met top T(ac, b)
a bepaald of het een dal (+) of berg (-) is

Nulpunt berekenen a.d.h.v. de discriminant

−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐
𝑥= 2𝑎
 D > 0 : twee reële wortels
 D = 0 : één reële wortel met multipliciteit 2
 D < 0 : twee complexe wortels


▪ Algemene veeltermfunctie
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑥 + 𝑎0

Met graad n en hoogste graadsterm 𝑎𝑛 𝑥 𝑛
𝑎0 is de constante term
x³ + 6x - 1
Nulpunt berekenen adhv
 Nulpunt zoeken door te kijken naar de delers van de rest term
Factorstelling: reëel getal c is een nulpunt van p(x)  x-c een factor is van p
 Horner
 Euclidische deling : p(x) = d(x) q(x) + r(x)
 Maximaal n-aantal verschillende nulpunten, kan ook meerdere keren zelfde nulpunt :
multipliciteit



Rationale functies
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥) =
ℎ(𝑥)
Deling van twee aparte functies, elk met eigen nulpunten
2𝑥 − 1
𝑥+1

, Nulpunt van noemer: asymptoot of opening als evenveel of meer keer ook voorkomt in teller

Hebt horizontale en verticale asymptoten cfr. Hfst 8: limieten

Hebt domeinbeperking door de noemer




Irrationale functies
Functies met een vierkantswortel => zorgt voor domeinbeperkingen

Opletten met bestaansvoorwaarde
√𝑥




Kegelsnede: zie uitgebreide samenvatting op de volgende pagina’s




Formule om elke kegelsnede te definiëren:

ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0

▪ Als b² - 4ac > 0, dan heb je een hyperbool
▪ Als b² - 4ac = 0, dan heb je een parabool
▪ Als b² - 4ac < 0, dan heb je een ellips of cirkel

a, b of c zijn vaak 0 in oefeningen

The benefits of buying summaries with Stuvia:

Guaranteed quality through customer reviews

Guaranteed quality through customer reviews

Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.

Quick and easy check-out

Quick and easy check-out

You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.

Focus on what matters

Focus on what matters

Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!

Frequently asked questions

What do I get when I buy this document?

You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.

Satisfaction guarantee: how does it work?

Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.

Who am I buying these notes from?

Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller GregTheBioEngineer. Stuvia facilitates payment to the seller.

Will I be stuck with a subscription?

No, you only buy these notes for $4.08. You're not tied to anything after your purchase.

Can Stuvia be trusted?

4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)

69411 documents were sold in the last 30 days

Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 15 years now

Start selling
$4.08  3x  sold
  • (1)
Add to cart
Added