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Résumé et note pour tous
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Voici les trames de plusieurs texte pouvant tomber pour le bac de français et il y a aussi tous le programme de mathématiques de terminal.
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Tale Chapitre 1 - Les suites Maths Spé ialitéProgramme o
iel
L'analyse est une part entrale des mathématiques et, omme outil de modélisation et de al ul, elle joue un r
le essentiel
dans l'étude de phénomènes issus des autres dis iplines.
Les buts essentiels du programme de la lasse terminale sont de donner aux élèves une bonne intuition des notions fonda-
mentales : onvergen e, limites, dérivées, intégrales et une solide pratique des al uls aérents.
Les di
ultés de mise en forme des on epts sont évoquées, sans onstituer le but entral de l'enseignement. Le programme
s'arti ule autour des notions de suite et de fon tion. Ces deux notions sont intimement liées et le dialogue dis ret- ontinu
mérite d'être évoqué régulièrement.
En lasse de première, l'étude des suites est abordée sous un angle essentiellement algébrique. En lasse terminale, on om-
men e l'étude de la onvergen e.
La notion de limite est présentée de manière intuitive, en s'appuyant notamment sur la vision géométrique et sur
l'é riture dé imale. On expli ite ensuite les dé
nitions mais la maîtrise omplète du formalisme n'est pas un attendu.
Les obje tifs sont plut
t d'installer une pratique solide des aspe ts opératoires (détermination de limites) et d'in-
troduire la problématique des théorèmes d'existen e, notamment la onvergen e d'une suite roissante majorée.
Lors de l'étude d'une suite, on distingue les aspe ts globaux des aspe ts asymptotiques. Les élèves doivent disposer d'un
répertoire d'exemples su
samment ri he pour éviter les onfusions entre propriétés.
Les suites interagissent ave les autres parties du programme. Outre leurs interventions en analyse, de nombreux problèmes
de probabilités onduisent naturellement à étudier un modèle probabiliste dépendant d'un entier n.
Contenus
• La suite (un ) tend vers +∞ si tout intervalle de la forme [A; +∞[ ontient toutes les valeurs un à partir d'un
ertain rang. Cas des suites roissantes non majorées. Suite tendant vers −∞ : 1 page 4
• La suite (un ) onverge vers le nombre réel ℓ si tout intervalle ouvert ontenant ℓ ontient toutes les valeurs un à
partir d'un ertain rang : 3 page 5
• Limites et omparaison. Théorèmes des gendarmes : VI page 7
• Opérations sur les limites : V page 5
• Comportement d'une suite géométrique (q n ) où q est un nombre réel : VII page 8
• Théorème admis : toute suite roissante majorée (ou dé roissante minorée) onverge : VIII page 9
Capa ités attendues
• Établir la onvergen e d'une suite, ou sa divergen e vers +∞ ou −∞.
• Raisonner par ré urren e pour établir une propriété d'une suite.
• Étudier des phénomènes d'évolution modélisables par une suite.
Démonstrations étoilées
• Toute suite roissante non majorée tend vers +∞ : VIII page 9
• Limite de (q n ) après démonstration par ré urren e de l'inégalité de Bernoulli : VII page 8
• Divergen e vers +∞ d'une suite minorée par une suite divergeant vers +∞ : VI page 7
• Limite en +∞ et en ∞ de la fon tion exponentielle : à faire lors du hapitre sur les limites de fon tions
Exemples d'algorithme
• Re her he de seuils. √
√ 1+ 5
• Re her he de valeurs appro hées de π , e, 2, , ln(2), et : Ex 102 p 226
2
Approfondissements possibles
• Propriétés et utilisation des suites adja entes : Ex 102 p 226
• Exemples de suites véri
ant une relation de ré urren e linéaire d'ordre 2 à oe
ients onstants : Ex 103-104 p
226
• Exemples d'appli ation de la méthode de Newton. Étude de la onvergen e de la méthode de Héron :Ex 105 p 226
1
, Tale Chapitre 1 - Les suites Maths Spé ialité
I Le raisonnement par ré urren e
Le raisonnement par ré urren e est une forme de raisonnement visant à démontrer une propriété portant sur tous les entiers
naturels. Le prin ipe du raisonnement par ré urren e peut s'apparenter à une hute en as ade de dominos :
Con lusion
Tous les dominos
tombent !
En mathématiques, la hute du n-ième domino sera rempla ée par une propriété ou une formule qu'on notera souvent P [n].
La démonstration par ré urren e d'une propriété se fait toujours en 3 étapes :
• Initialisation : on véri
e que la propriété est vraie au rang 0 (ou en tout as au premier rang).
• Hérédité : on montre que la propriété est héréditaire, 'est-à-dire que la propriété à un rang entraîne la propriété au
rang suivant.
• Con lusion : la propriété est vraie au rang 0, et elle est héréditaire, don elle est vraie pour tout entier naturel n.
Exemple 1 : Soit (un ) la suite dé
nie par u0 = 1 et un+1 = un + 2n + 3.
1. Cal uler u1 , u2 , u3 , u4 .
2. Conje turer une formule pour un .
3. Démontrer ette onje ture par ré urren e.
Démontrer que pour tout n > 0, un = (n + 1)2 .
Solution :
1. u1 = u0 + 2 × 0 + 3 = 1 + 0 + 3 = 4
u2 = 4 + 2 + 3 = 9 u3 = 16 u4 = 25
2. un = (n + 1)2
3. Pour tout entier n, on note P [n] la propriété : un = (n + 1)2 .
• Initialisation : pour n = 0 : u0 = 1 et (0 + 1)2 = 1.
On a bien u0 = (0 + 1)2 , don la propriété P [0] est vraie. Le premier domino tombe.
• Hérédité : Soit n ∈ N. Montrons que P [n] entraine P [n + 1],
'est à dire que un = (n + 1)2 entraine un+1 = (n + 1 + 1)2 = (n + 2)2 .
On veut montrer que la hute du nième domino entraine la hute du n + 1ième domino .
un+1 = un + 2n + 3 par dé
nition de la suite.
un+1 = (n + 1)2 + 2n + 3 d'après P [n].
un+1 = n2 + 2n + 1 + 2n + 3
un+1 = n2 + 4n + 4
un+1 = (n + 2)2 Le n + 1ième domino tombe
La propriété est don héréditaire.
• Con lusion : La propriété est vraie pour n = 0, et pour tout entier n, P [n] entraîne P [n + 1]. D'après le prin ipe
de ré urren e, P [n] est vraie pour tout n : pour tout n, un = (n + 1)2 . Tous les dominos
tombent
Exemple 2 : Démontrer que pour tout n > 4, 2n > 4n.
• Initialisation : si n = 4 alors 2n = 24 = 16 et 4n = 4 × 4 = 16 don la propriété est vraie au rang n = 4.
• Hérédité : on suppose que pour un ertain entier n > 4, on a 2n > 4n.
On souhaite démontrer que dans e as, 2n+1 > 4(n + 1) ⇐⇒ 2n+1 > 4n + 4
L'hypothèse 2n > 4n implique que 2n+1 > 8n.
Véri
ons que 8n > 4n + 4 e qui revient à 4n > 4.
Comme n > 4 alors 4n > 16 don 4n > 4 d'où 8n > 4n + 4.
Par onséquent, 2n+1 > 8n > 4n+4 d'où 2n+1 > 4(n+1). Ainsi, la propriété est vraie au rang n+1 : elle est héréditaire.
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