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Sumario Cambio de coordenadas en Integrales Dobles 3,49 €
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  5. Análisis Matemático II

Resumen

Sumario Cambio de coordenadas en Integrales Dobles
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  • Grado
  • Análisis Matemático II
  • Institución
  • National University Of Luján (UNLu )

En este resumen vas a encontrar explicaciones, propiedades, teoremas, ejemplos de ejercicios resueltos y respuesta a ejercicios de libro "Lecciones de Análisis II" de Alfredo Novelli. Temas: - Cambio a coordenadas polares en integrales dobles - Dominio polarmente normal - Sector plano - Domin...

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Información del documento

  • 16 de marzo de 2021
  • 17
  • 2020/2021
  • Resumen

Temas

  • integrales dobles
  • cambio de coordenadas
  • coordenadas polares
  • sector plano
  • dominios simétricos
  • dominio polarmente normal
  • análisis matemático

Escuela, estudio y materia

  • National University of Luján (UNLu )
  • Análisis Matemático II
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Cambio de coordenadas en integrales dobles



el cálculo de una integral. Si tenemos que calcular la integral de una cierta función ( ) con derivada
En el Análisis Matemático I a menudo utilizamos un cambio de variable (sustitución) para simplificar


continua en , por el método de sustitución suponemos que es a su vez, una función que depende
de de clase , es decir = ( ) en el intervalo , donde = ( ) y = ( ) entonces:

( ) = ( ) . ´( )



En una integral doble ∬ ( , ) se pueden cambiar las variables e por otras y mediante
una transformación del tipo:
= ( , )
= ( , )
en el que se verifiquen las siguientes condiciones:
- Las funciones = ( , ), = ( , ) tienen derivadas parciales primeras continuas en un
abierto del plano .
- El jacobiano ( , ) es distinto de cero en todo punto del abierto del plano .
- A puntos distintos del plano
´ del plano
le corresponden puntos distintos del plano , y a un dominio
la transformación le hace corresponder un dominio del plano .
Entonces:

! ( , ) =! ( , ), ( , ) | ( , )|
´




= ( , ), = ( , ) es:
' '
Aclaración: El Jacobiano de la transformación

∇ ( , )
( , )=$ $ = &' ' &
∇ ( , ) ' '
' '


+ =1
(
)
Ejemplo 1: Hallar el área de la elipse

Ya hemos visto que para hallar el área podemos proceder calculando

,=! 1



Graficamos el dominio , que en este caso coincide con la elipse a la que le queremos calcular el área:

, : + 11
(
)




=2 3
Si utilizamos la transformación - se transforma en el dominio ´:
=
el dominio




´: + 11




El jacobiano de la transformación es:


' '
∇ ( , ) ' & = 4 2 04 = 2
( , )=$ $ = &'
∇ ( , ) ' ' 0 1
' '


Teniendo en cuenta que ∬ ( , ) =∬ ´
( , ), ( , ) | ( , )| tenemos:



! 1 = ! 1.2 = 2! = 2. Área de D´ = 2.. A
´ ´




Coordenadas polares


En una integral doble ∬ ( , ) vamos a realizar un cambio de coordenadas mediante la


= (/, .) = . cos /
transformación:


= (/, .) = . sin /
donde . y / son las coordenadas polares del punto ( , ).


El Jacobiano de esta transformación es:

, ' '
∇ (/, .) '. & = 4−. sin / cos /
(/, .) = $ $ = &'/ 4 = −. CDE / − . FGC / = −.
∇ (/, .) ' ' . cos / sin /
'/ '.


Se nos pueden presentar distintos tipos de dominios:


• Dominio de tipo circular


Según esta transformación un rectángulo ´ del plano /. se transforma en un segmento de corona
circular del plano :




H I3
´: -
. 1.1.




11 + 14
=J 1 3
≥0
Ejemplo 2: Hallar el área del dominio



Graficamos el dominio :




= . cos /3
Si utilizamos la transformación - se transforma en el dominio ´:
= . sin /
el dominio

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