Resumen

Sumario Significado geométrico del Gradiente

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Grado
Análisis Matemático II

Institución
National University Of Luján (UNLu )

En este resumen vas a encontrar explicaciones, propiedades, teoremas, ejemplos de ejercicios resueltos y respuesta a ejercicios de libro "Lecciones de Análisis II" de Alfredo Novelli. Temas: - Gradiente de una función - Significado geométrico del gradiente

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Subido en 16 de marzo de 2021
Número de páginas 10
Escrito en 2020/2021
Tipo Resumen

gradiente
significado geometrico
derivadas parciales
análisis matemático

Institución
National University of Luján (UNLu )
Grado
Análisis Matemático II

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Análisis Matemático II - RESUMEN COMPLETO

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1. Resumen - Funciones de varias variables: curvas y superficies de nivel
2. Resumen - Derivadas direccionales
3. Resumen - Funciones diferenciables: plano tangente y linealización
4. Resumen - Conjunto de definición de funciones de varias variables
5. Resumen - Derivadas parciales
6. Resumen - Curvas y longitud de curva + coordenadas polares
7. Resumen - Curvas de r2 y r3 - plano normal y recta tangente
8. Resumen - Parametrización de curvas
9. Resumen - Funciones vectoriales
10. Resumen - Máximos y mínimos de funciones de varias variables
11. Resumen - Transformaciones compuestas + regla de la cadena
12. Resumen - Derivadas parciales de funciones implícitas
13. Resumen - Integrales dobles
14. Resumen - Cambio de coordenadas en integrales dobles
15. Resumen - Significado geométrico del gradiente
16. Resumen - Aplicación del teorema de green al estudio de campos vectoriales planos
17. Resumen - Fórmulas y teorema de green en el plano
18. Resumen - Cambio de coordenadas en integrales triples
19. Resumen - Formas diferenciales lineales
20. Resumen - Diferenciales exactas - campos vectoriales
21. Resumen - Campos vectoriales homogéneos
22. Resumen - Baricentro de un dominio plano
23. Resumen - Volúmenes de rotación
24. Resumen - Integración sobre curvas - integrales curvilíneas
25. Resumen - Integrales triples
26. Resumen - Teorema de la divergencia en r3 - gauss
27. Resumen - Integrales curvilíneas de funciones
28. Resumen - Ecuaciones diferenciales de primer orden
29. Resumen - Ecuaciones diferenciales de segundo orden homogéneas
30. Resumen - Teoremas relacionados a integrales múltiples - divergencia y rotor
31. Resumen - Integración sobre superficies
32. Resumen - Superficies de r3
33. Resumen - Ecuaciones diferenciales de segundo orden no homogéneas
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Significado geométrico del vector gradiente

El vector gradiente resulta importante de varias formas distintas:

Consideremos una función de tres variables : → , = , , y un punto de su dominio
= , , .
La ecuación de la superficie de nivel de la función que pasa por es = . Ésta es la
ecuación de la superficie de nivel de la función.
El vector gradiente ∇ , , aplicado en es normal a la superficie de nivel de la función que
pasa por . Además ∇ , , proporciona la dirección del incremento más rápido de en .

Ejemplo 1: Dada la función , , = , hallar el gradiente de en el punto 1, 2, 1 y
encontrar la ecuación cartesiana del plano tangente y la ecuación vectorial de la recta normal a la
superficie de nivel de que pasa por el punto dado.

La ecuación de la superficie de nivel es
=
, , = 1, 2, 1
=
Calculamos el gradiente pedido:
∇ , , = , , ∇ 1, 2, 1 = , ,2
El vector ∇ 1, 2, 1 = , ,2 es normal a la superficie en el punto = 1, 2, 1 , por lo tanto
es normal al plano tangente a la superficie en ese punto y también es la dirección de la recta normal a
la superficie en ese punto.

, La ecuación cartesiana del plano tangente es:
. = .
, , . , ,2 = 1, 2, 1 . , ,2
+ +2 =5

La ecuación vectorial de la recta normal es:
= +
= 1, 2, 1 + , ,2

De manera similar, consideremos una función de dos variables : → , = , y un punto
de su dominio = , .
La ecuación de la curva de nivel de la función que pasa por es = . Ésta es la ecuación
de la curva de nivel de la función.
El vector gradiente ∇ , aplicado en es normal a la curva de nivel de la función que pasa
por . Además ∇ , proporciona la dirección del incremento más rápido de en .

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