En este resumen vas a encontrar explicaciones, propiedades, teoremas, ejemplos de ejercicios resueltos y respuesta a ejercicios de libro "Lecciones de Análisis II" de Alfredo Novelli.
Temas:
- Teorema de la Divergencia
- Teorema de Gauss
- Flujo entrante y saliente
Recordemos el teorema de Green en el plano, éste relaciona una integral curvilínea con una integral
doble:
Sea un dominio regular de y = , , , un campo vectorial cuyas funciones
componentes , y , son continuas, con derivadas parciales primeras continuas, entonces:
= , + , = , − ,
El símbolo nos indica la trayectoria que deja a la izquierda el dominio de integración (esta
trayectoria debe estar parametrizada).
El teorema de Gauss, o de la divergencia en relaciona una integral doble con una integral triple:
Sea un sólido de y = , , , , , ,ℎ , , un campo vectorial cuyas funciones
componentes , , , , , , ℎ , , son continuas, con derivadas parciales primeras
continuas, entonces:
= !"
$ $
El símbolo nos indica la página exterior de la frontera de , es decir el flujo saliente. Como es un
sólido, su frontera es una superficie cerrada (esta superficie debe estar parametrizada).
La forma más habitual de expresar la igualdad (obviamente equivalente) entre la integral doble y la
triple es:
%& ', " (. &* × &, ' "= !"
$ $
Importante: El teorema de la divergencia o de Gauss se aplica a superficies cerradas.
El teorema de la divergencia puede ser muy útil para calcular la integral de un campo sobre una
superficie que es la frontera de un sólido regular.
, Ejemplo 1: Calcular el flujo saliente del campo , , = , , a través de la superficie esférica
+ + =1
Aquí vemos que la superficie dada es frontera de del sólido + +
≤1
Como nos piden el flujo saliente, debemos integrar sobre la página exterior de la superficie, por lo
tanto aplicando el teorema de la divergencia
= !"
$ $
procederemos a calcular la integral triple correspondiente:
ℎ
!" = / + + 0 = 0+1+0 =
$ $ $
4
= = 2"34'567 6 8 = ;
$ 3
, , = 6 ,6 ,
< => < < => <
Ejemplo 2: Calcular el flujo saliente del campo a través de frontera
=? , , : + ≤ ≤ 1C
< <
A B
del sólido
En este caso la frontera del sólido está compuesta por dos superficies: D y
Entonces
= 4'E3 FG4!67H6 6 D + 4'E3 FG4!67H6 6 = !"
$ $
Nos están pidiendo el flujo saliente a través de la frontera (completa) del sólido, por lo tanto basta con
calcular la integral triple:
ℎ
!" = / + + 0 = 2
$ $ $
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