Resumen
Sumario Primitivas e integrales definidas para alumnos pre universitarios y sus propiedades
Es un documento que explica perfectamente las primitivas, integrales definidas, sus conceptos y como calcularlas.
[Mostrar más]Vista previa 2 fuera de 11 páginas
Vista previa 2 fuera de 11 páginas
Añadir al carritoLibro relacionado
Título del libro:
Autor(es):
- Edición:
- ISBN:
- Edición:
Vendedor
Seguir
Vista previa del contenido
Integral Definida: Introducción, ubicación histórica, objetivo y método de cálculo.
Se llama integral definida de la función f(x)>0, entre a y b, al área de la porción del plano
limitada por la grafica, el eje x y las rectas x=a, y x=b. Representa el área limitada por la
gráfica de la función, en un sistema de coordenadas cartesianas con signo positivo cuando la
función toma valores positivos y signo negativo cuando toma valores negativos. Fue usado
por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried
Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el
teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son
procesos inversos. La integración se puede trazar en el pasado hasta el antiguo Egipto, circa
1800 a. C., con el papiro de Moscú, donde se demuestra que ya se conocía una fórmula para
calcular el volumen de un tronco piramidal. La primera técnica sistemática documentada
capaz de determinar integrales es el método de exhausción de Eudoxo (circa 370 a. C.), que
trataba de encontrar áreas y volúmenes a base de partirlos en un número infinito de formas
para las cuales se conocieran el área o el volumen. Este método fue desarrollado y usado más
adelante por Arquímedes, que lo empleó para calcular áreas de parábolas y una aproximación
al área del círculo.
Particiones, Norma de Partición y Refinamiento de una Partición:
Partición: una partición P de un intervalo cerrado [a, b] a toda colección finita de puntos {to,
t1, t2, …, tn} tal que: a = to < t1 < t2 < … < tn-1 < tn = b
Norma de Particion: es la diferencia maxima entre cualesquiera de dos puntos consecutivos
de la partición y se denota por ||P||: max { tj < tj-1 , j=1 … n}
Afinamiento de una partición P: a partir de una partición P de [a,b] se toma la particion Q,
con Q⊂P, el cual es un afinamiento de la partición P.
Suma Superior e Inferior: sea f(x) continua en [a,b] y f(a) ≠ f(b). Por teorema Weierstrass 1,
f(x) alcanza su máximo: M, y su mínimo m, en el intervalo [a,b]. Por lo tanto, si tomamos la
base como b-a, y la altura como M, el resultado va a ser la Suma Superior máxima (por
exceso) de la integral f(x) en a,b. Mientras que si
tomamos la misma base y lo multiplicamos por el
mínimo m, obtendremos el mínimo de Suma Inferior.
Por lo tanto: mínimo Suma Inferior≤Suma
Inferior≤Integral≤Suma Superior≤máximo Suma
Superior. Tal que m(b-a)≤t≤Integral≤S≤M(b-a),
siendo t la suma inferior, y S la suma Superior.
Sea P, la partición de [a,b], tal que: a = to < t1 < t2 <
… < tn-1 < tn = b. Por lo tanto, sea
S=suma superior= ∑Mi(xi-xi-1)
t=suma inferior=∑mi(xi-xi-1), siendo M y m el
máximo y mínimo respectivamente de f(x) en cada intervalo. Entonces: t≤f(x)≤S.
● Sea Q, una partición de P, tal que Q⊂P. A medida que disminuye el Δx de cada
subintervalo de P, la función se refina en intervalos más chicos Q, por lo tanto, la
, suma inferior se aproxima cada vez más a la función aumentando, mientras que la
suma superior disminuye aproximándose a la grafica. Esto concluye en:
t(f,P)≤t(fQ)≤F(X)≤S(fQ)≤S(fP) con Q⊂P.
Demostración:
Si Q es un renamiento de P, entonces
a) S(f, Q) ≥ S(f, P) y b) S(f, Q) ≤ S(f, P)
Demostración. Supongamos que Q es un renamiento de una partición P de [a, b].
Entonces Q contiene todos los puntos de P, y algunos mas. Vamos a considerar el caso
donde Q contiene solo un punto mas que P. Dicho punto lo denotaremos x
∗k ∈ [xk−1, xk]. De esta forma Q = {x0, x1, · · · , xk−1, x∗k, xk, · · · , xn}
por tanto tenemos que por a), la sumatoria inferior
Para el refinamiento de la sumatoria superior, la demostración es análoga. Como todo
refinamiento Q de una Partición P, es menor para la suma superior y mayor para la
suma inferior, demostrado anteriormente, se cumple el Teorema:
t(f,P)≤t(fQ)≤F(X)≤S(fQ)≤S(fP)
● Toda suma superior esta acotada inferiormente en cada subintervalo por la suma
inferior., y viceversa. Por lo tanto, existe el ínfimo de la sumas superior (inf de S), y
existe el supremo de las sumas inferiores (sup de t), en cada subintervalo [xi-1,xi] /
t≤sup t≤inf S≤S.
Definimos la Integral Superior como
Definimos la Integral Inferior como
Estas integrales existen, tienen valores y están acotadas tal que:
Se dice que una función continua es integrable si
Los beneficios de comprar resúmenes en Stuvia estan en línea:
Garantiza la calidad de los comentarios
Compradores de Stuvia evaluaron más de 700.000 resúmenes. Así estas seguro que compras los mejores documentos!
Compra fácil y rápido
Puedes pagar rápidamente y en una vez con iDeal, tarjeta de crédito o con tu crédito de Stuvia. Sin tener que hacerte miembro.
Enfócate en lo más importante
Tus compañeros escriben los resúmenes. Por eso tienes la seguridad que tienes un resumen actual y confiable. Así llegas a la conclusión rapidamente!
Preguntas frecuentes
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
100% de satisfacción garantizada: ¿Cómo funciona?
Nuestra garantía de satisfacción le asegura que siempre encontrará un documento de estudio a tu medida. Tu rellenas un formulario y nuestro equipo de atención al cliente se encarga del resto.
Who am I buying this summary from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller ignaciosoler. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy this summary for 5,99 €. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
45,681 summaries were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy summaries for 14 years now
