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Caso

Is a investigation ans a research about graph theory related to the global pandemic
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Español: Si remontamos a la primera mitad del siglo XVIII en Prusia, surgió la gran teoría en la cual se basa este estudio, la teoría de grafos, que se puede aplicar a todos los ámbitos del saber. Sin embargo, aquí únicamente se encuentra el estudio de la parte teórica de ésta, y enfoc...

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  • 31 de julio de 2021
  • 57
  • 2019/2020
  • Caso
  • Africa garcia
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Escuela, estudio y materia

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patriciamartnezutrillas

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TEORIA DE GRAFS AL SERVEI DE LA
SOCIETAT

Matrius de Markov en relació a
la propagació de la Covid-19




Treball de recerca

Patricia Martínez Utrillas

Institut Els Pallaresos

Tutora: Àfrica Garcia

Curs 2020/21

,TDR: Teoria de grafs al servei de la societat



Resumen

Si remontamos a la primera mitad del siglo XVIII en Prusia, surgió la gran teoría en
la cual se basa este estudio, la teoría de grafos, que se puede aplicar a todos los
ámbitos del saber. Sin embargo, aquí únicamente se encuentra el estudio de la parte
teórica de ésta, y enfocado a la realización de modelos matemáticos para estudiar la
propagación de pandemias, en concreto, de la pandemia que se está viviendo
actualmente, el covid-19.

Los objetivos de esta investigación se centran en demostrar toda la variedad de
aplicaciones de las que consta esta teoría, y sobre todo da énfasis en demostrar la
importancia que tiene en la propagación de pandemias y todo lo que puede
contribuir a mejorar estas situaciones.
Con este fin, las preguntas de la investigación son las siguientes: ¿Qué es lo que
puedo estudiar con Teoría de Grafos? ¿Cómo con Teoría de Grafos puedo ayudar
en una situación de pandemia?

A partir de aquí, se estudió algunas de las aplicaciones en diferentes áreas del
conocimiento para demostrar la diversidad de esta teoría.
A continuación, se realizó una entrevista a un investigador de la UPC, donde se
respondió a la segunda pregunta. Pero, nunca se está satisfecho, por lo que cree mi
propio grafo SIR (analiza la probabilidad en que la población pasa de recuperados a
sospechosos y de sospechosos a recuperados), del cual se han podido extraer
conclusiones muy interesantes.

En conclusión, de un grafo adaptado a mis propósitos se extraen distintas
deducciones, como los infectados que habrá de aquí a un determinado periodo de
tiempo, la posibilidad de que alguien se infecte según donde viva y muchísimos más
datos para los cuales haría falta hacer un estudio más exhaustivo y que requieren de
otro trabajo de investigación, pero no por ello no los mencionaré.




1

,TDR: Teoria de grafs al servei de la societat



Abstract

If we go back to the first half of the 18th century in Prussia, the great theory on which
this study is based, emerged, the graph theory, which can be applied to all areas of
knowledge. However, here we only find the study of the theoretical part, and, focused
on the realization of mathematical models to study the spread of pandemics,
specifically, the pandemic that is currently being experienced, the Covid-19.

The objectives of this research are focused on demonstrating all the variety of
applications that this theory consists of, and it emphasizes the importance it has in
the spread of pandemics and everything that can contribute to improving these
situations.
With this purpose, the research questions are the following: What can I study with
Graph Theory? How can I help with Graph Theory in a pandemic situation?

From this moment on, some of the applications in different areas of knowledge were
studied to demonstrate the diversity of this theory.
This was followed by an interview with an UPC researcher, where the second
question was answered. But, I wasn’t satisfied with this, so I created my own SIR
graph (it analyzes the probability that the population goes from recovered to
susceptible and from susceptible to infected), from which I have drawn very
interesting conclusions.

In conclusion, from a graph adapted to my purposes, different deductions are
extracted, such as how much infected population there will be from now to a certain
period of time, the possibility of someone getting infected depending on where they
live, and much more data which would require a much bigger research and would
need another different work, but that I will still mention.




2

, TDR: Teoria de grafs al servei de la societat



ÍNDEX

Introducció
1. Introducció a la teoria de grafs ………………………………………….. 6
1.1. Història dels grafs…………………………………………………..... 7
1.2. Conceptes bàsics…………………………………………….............9
1.2.1. Tipus de grafs………………………………………………..11
1.2.2. Grau d’un graf i d’un vèrtex………………………………...14
1.2.3. Camins i cicles………………………………………........... 18
1.3. Representació i isomorfisme de grafs……………………..………. 22
1.4. Arbres………………….……………………………………………….26
1.4.1. Propietats dels arbres……………………………………… 26
1.4.2. Tipus d’arbres………………………………………….........28
1.5. Problemes clàssics…………………………………………….......... 29
1.5.1. El joc del dodecaedre………………………………........... 29
1.5.2. La signatura del diable……………………………............. 30
1.5.3. El joc de les n reines………………………..…….............. 32
2. Cadenes de Markov………………………………………………............ 33
2.1. Probabilitats estacionàries i matrius de Markov……………......... 34
3. Aplicacions a la realitat………………………………..………………….. 36
3.1. Entrevista a Tomás Lázaro, professor i investigador de
Matemàtiques a la UPC……...….……….………………………………….……37
4. Graf de la Covid-19 estudiat amb cadenes de Markov………....…….. 39
4.1. Programa Grafos…………………..………………………..……….. 40
4.2. Recollida i manipulació de les dades……………...…....…………. 40
4.3. Disseny i realització del graf……………………………….……….. 42
4.4. Conclusions estretes del graf……………………………...……….. 46
5. Conclusions……………………………..………………………..……….. 46




3

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