Tema 2. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.
2.1. Definiciones generales.
Ecuación diferencial ordinaria de primer orden.
Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de primer orden es una ecuación que liga la
variable independiente 𝑥, una función incógnita 𝑦 = 𝑦(𝑥) y su primera derivada 𝑦', es decir,
es una expresión, bien de la forma 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦') = 0 (forma implícita) o bien, si se puede
despejar la derivada 𝑦' = 𝑓(𝑥, 𝑦) (forma explícita). A la función 𝑦 = 𝑦(𝑥) se le llama función
incógnita.
Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.
Los siguientes ejemplos ilustran el proceso de traducir leyes y principios científicos en
ecuaciones diferenciales, interpretando razones de cambio como derivadas. La variable
independiente es el tiempo 𝑡.
● La ley de enfriamiento de Newton puede ser enunciada de la siguiente forma: la tasa
de cambio de la temperatura 𝑇(𝑡) de un cuerpo con respecto al tiempo 𝑡 es
proporcional a la diferencia entre 𝑇 y la temperatura 𝐴 del medio ambiente. Es decir,
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑘(𝐴 − 𝑇) ≡ 𝑇' = 𝑘(𝐴 − 𝑇) en la que 𝑘 es una constante positiva.
● La tasa de cambio con respecto al tiempo de una población 𝑃(𝑡) con índices
constantes de natalidad y mortandad es, en muchos casos simples, proporcional al
𝑑𝑃
tamaño de la población. Es decir, 𝑑𝑡
= 𝑘𝑃 ≡ 𝑃' = 𝑘𝑃 donde 𝑘 es la constante de
proporcionalidad.
● Un ejemplo simple y conocido de ecuaciones diferenciales es el problema de
calcular una primitiva de una función, esto es, calcular ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥. La ecuación
diferencial que describe este problema es 𝑦' = 𝑓(𝑥). Además, la solución de dicha
ecuación diferencial es 𝑦 = ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶.
Solución de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden.
Se llama solución de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦') = 0 a
toda función ϕ(𝑥) tal que 𝐹(𝑥, ϕ(𝑥), ϕ'(𝑥)) = 0, es decir, podemos decir que una solución de
una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es toda función que sustituida junto con
su derivada en la ecuación conduce a una identidad.
Tipos de soluciones.
Las soluciones de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden pueden ser de tres
tipos:
● Solución general. Se llama así a una expresión de la forma ϕ(𝑥, 𝑦, 𝐶) = 0 donde 𝐶
es una constante arbitraria.
● Solución particular. Son las soluciones que se obtienen fijando el valor de la
constante arbitraria C de la solución general.
● Solución singular. Son aquellas soluciones que no es´tan incluidas en la solución
general, es decir, que no se pueden obtener a partir de ella asignando un valor
conveniente a la constante.
𝑥
Así, por ejemplo, 𝑦 = 𝐶𝑒 es la solución general de la ecuación diferencial 𝑦' = 𝑦, mientras
𝑥 𝑥 𝑥
que 𝑦 = 𝑒 ; 𝑦 = 2𝑒 ; 𝑦 = 2𝑒 ...son soluciones particulares de dicha ecuación.
, 2
De la misma forma, 𝑦 = (𝑥 + 𝐶) es la solución general de la ecuación diferencial 𝑦' = 2 𝑦,
2 2 2 2
mientras que 𝑦 = 𝑥 ; 𝑦 = (𝑥 + 1) ; 𝑦 = (𝑥 + 7) ; 𝑦 = (𝑥 + 3) ...son soluciones
particulares de dicha ecuación. Por otra parte, 𝑦 = 0 es una solución singular de la
ecuación, ya que verifica la ecuación y no está incluida en la solución general.
Desde un punto de vista geométrico, la solución general representa una familia de curvas
en el plano, llamadas curvas integrales, que son solución de la ecuación diferencial. Las
soluciones particulares son las diferentes curvas de la familia.
Distintas formas de expresar la solución general.
Normalmente, la solución general de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden
puede expresarse de dos formas distintas:
● Forma explícita: si la función incógnita viene despejada en función de la variable
independiente 𝑥 y de la constante arbitraria 𝐶, es decir, una expresión de la forma
𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝐶). Para el caso de las soluciones particulares y singulares, expresiones de
la forma 𝑦 = 𝑦(𝑥).
● Forma implícita: si la solución viene expresada por una ecuación que liga la función
incógnita 𝑦, la variables independiente 𝑥 y la constante arbitraria 𝐶, es decir, una
expresión de la forma ϕ(𝑥, 𝑦, 𝐶) = 0. Para el caso de las soluciones particulares y
singulares, expresiones de la forma ϕ(𝑥, 𝑦) = 0.
2.2. Problema de Cauchy.
Se llama problema de Cauchy o problema de valor inicial al conjunto formado por una
ecuación diferencial ordinaria de primer orden en forma explícita y una condición inicial, esto
es, un problema de la forma
Geométricamente, se trata de encontrar las soluciones de la ecuación 𝑦' = 𝑓(𝑥, 𝑦) que
pasen por el punto (𝑥0, 𝑦0).
Para resolver un problema de Cauchy hay que encontrar todas las soluciones de la
ecuación diferencial y ver cuál o cuáles de ellas verifican la condición inicial.
Teorema de existencia y unicidad de un problema de Cauchy.
Teorema 1 (Picard).
Sea un problema de Cauchy con f definida en un rectángulo R centrado en (𝑥0, 𝑦0):
{ | | | |
𝑅 ≡ (𝑥, 𝑦) | 𝑥 − 𝑥0 ≤ 𝑎; 𝑦 − 𝑦0 ≤ 𝑏; 𝑎, 𝑏 > 0 }
Existencia: Si f es continua en R entonces (P) posee solución.
Unicidad: Si f es diferenciable en R entonces existe una única solución de (P).
Nota: Este teorema admite generalizaciones en diversas direcciones, con hipótesis más
débiles. Sin embargo, ésta que aquí se presenta es la más operativa.
2.3. Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.
Dependiendo de las notaciones que se utilicen para las derivadas y los diferenciales, las
ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden se pueden expresar de varias formas:
