Tema 3. Espacio afín y euclídeo. Diagonalización Ortogonal.
Definición 1. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Llamamos forma bilineal a toda
aplicación 𝑓: 𝑉 × 𝑉 → 𝐾 ; (𝑥, 𝑦) → 𝑓(𝑥, 𝑦) que verifica:
1. 𝑓(𝑥, λ𝑦 + µ𝑧) = λ𝑓(𝑥, 𝑦) + µ𝑓(𝑥, 𝑧); ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑉 𝑦 λ, µ ∈ 𝐾
2. 𝑓(λ𝑥 + µ𝑦, 𝑧) = λ𝑓(𝑥, 𝑧) + µ𝑓(𝑦, 𝑧); ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑉 𝑦 λ, µ ∈ 𝐾
Definición 2. Se dice que una forma bilineal 𝑓: 𝑉 × 𝑉 → 𝐾 es simétrica si verifica que
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑦, 𝑥); ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉
Matriz asociada a una forma bilineal en una base B.
Definición 3. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K, y sea 𝑓: 𝑉 × 𝑉 → 𝐾una forma
bilineal.
{ }
Si 𝐵 = 𝑣1, 𝑣2,..., 𝑣𝑛 es una base de V entonces, dados los vectores 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉tenemos que
donde la matriz 𝐴 = (𝑓(𝑣𝑖, 𝑣𝑗))de orden n definida sobre K recibe el nombre de matriz de la
forma bilineal f en la base 𝐵(𝐴 = 𝑀𝐵(𝑓)).
Producto escalar.
Definición 4. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y 𝑓: 𝑉 × 𝑉 → 𝐾una forma
bilineal. Decimos que f es una forma bilineal definida positiva si verifica:
𝑓(𝑥, 𝑥) > 0; ∀𝑥 ∈ 𝑉, 𝑥 ≠ 0
Definición 5. Sea V un espacio vectorial definido sobre el cuerpo de números reales.
Llamamos producto escalar a toda forma bilineal 𝑓: 𝑉 × 𝑉 → 𝑅simétrica y definida positiva.
Definición 6. Llamamos espacio vectorial euclídeo a un espacio vectorial real en el que se
ha definido un producto escalar.
Dados dos vectores 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉, su producto escalar 𝑓(𝑥, 𝑦), suele denotarse de distintas
formas: 𝑓(𝑥, 𝑦) =< 𝑥, 𝑦 >= (𝑥|𝑦) = 𝑥 · 𝑦
Determinación de un producto escalar.
{ }
Teorema 1. Sea V un e.v. euclídeo y 𝐵 = 𝑣1, 𝑣2,..., 𝑣𝑛 una base de V. Entonces el producto
escalar de dos vectores cualesquiera, 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉 queda determinado conociendo los
productos escalares < 𝑣𝑖, 𝑣𝑗 > de los vectores de B.
𝑛 𝑛
< 𝑥, 𝑦 >= ∑ ∑ 𝑥𝑖𝑦𝑗 < 𝑣𝑖, 𝑣𝑗 >.
𝑖=1 𝑗=1
Expresado matricialmente este resultado:
, donde G es la matriz asociada al producto escalar dado en la base B: matriz de Gram.
Definición 7. Sea V un e.v. euclídeo. Llamamos norma, módulo o longitud de un vector 𝑥 ∈ 𝑉
al número real: ||𝑥|| = < 𝑥, 𝑥 >
Definición 8. Se dice que un vector 𝑥es unitario o normalizado si ||𝑥|| = 1. Dado un vector
𝑥
𝑥 ≠ 0el vector es unitario. Este proceso se llama normalización de 𝑥.
||𝑥||
Proposición 1. Propiedades de la norma. Sea V un e.v. euclídeo, y sen 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉, λ ∈ 𝑅.
Entonces:
1. ||𝑥|| = 0 si y sólo si 𝑥 = 0
2. ||λ𝑥|| = |λ|||𝑥||
3. |< 𝑥, 𝑦 >| ≤ ||𝑥||||𝑦|| Desigualdad de Schwarz
4. ||𝑥 + 𝑦|| ≤ ||𝑥|| + ||𝑦||Desigualdad triangular
Definición 9. Sean 𝑥, 𝑦 dos vectores no nulos de un espacio vectorial euclídeo V. El ángulo
<𝑥,𝑦>
que forman 𝑥 e 𝑦 se define: á𝑛𝑔(𝑥, 𝑦) = θ = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
||𝑥||||𝑦||
Utilizando la definición de ángulo podemos expresar el producto escalar de dos vectores de
la forma: < 𝑥, 𝑦 >= ||𝑥||||𝑦||𝑐𝑜𝑠θ
Conjunto ortogonal y ortonormal.
Definición 10. En un e.v. euclídeo V se dice que 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉son vectores ortogonales si
< 𝑥, 𝑦 >= 0
Observar que dos vectores no nulos 𝑥, 𝑦 son ortogonales si y sólo si son perpendiculares,
pues en este caso 𝑐𝑜𝑠(𝑥, 𝑦) = 0. Por ello si 𝑥, 𝑦 son ortogonales suele denotarse 𝑥 ⊥ 𝑦.
{ }
Definición 11. Un conjunto de vectores no nulos 𝑣1, 𝑣2,..., 𝑣𝑛 de un espacio vectorial
euclídeo V se dice que es un conjunto ortogonal si cada vector del conjunto es ortogonal a
todos los demás, es decir < 𝑣𝑖, 𝑣𝑗 >= 0, ∀𝑖 ≠ 𝑗
Diremos que dicho conjunto es ortonormal si además se verifica que los vectores que lo
forman son unitarios.
{ }
Teorema 2. Sea V un espacio vectorial euclídeo. Si 𝑆 = 𝑣1, 𝑣2,..., 𝑣𝑛 es un conjunto
ortogonal de vectores no nulos de V, entonces dicho conjunto es linealmente independiente.
Método de ortogonalización de Gram-Schmidt.
