DERIVACIÓN
Tasas de variación. Velocidad.
Si entre dos magnitudes hay una relación funcional, a cada valor x de una de ellas, magnitud
o variable independiente, corresponde un único valor y = f ( x) de la otra, variable
dependiente. Luego, conocido un valor concreto x0 de la primera, la relación funcional (la
función) nos proporciona el valor de la segunda y0 = f ( x0 ) .
En muchas ocasiones tiene interés conocer no sólo los valores correspondientes de las
magnitudes, sino también cómo, y en qué medida, cambia esa relación. Concretamente dado
un valor x0 de la variable independiente, si ese valor pasa a ser x0 + h , el valor de la función
pasa de f ( x0 ) a f ( x0 + h) . Luego la variable dependiente ha cambiado en una cantidad
f ( x0 + h) − f ( x0 ) , mientras que la independiente ha variado x0 + h − x0 =.
h
f ( x0 + h) − f ( x0 )
El cociente de ambas diferencias nos proporciona dos informaciones:
h
f ( x0 + h) − f ( x0 )
La primera, cualitativa, viene dada por el signo del cociente. Si > 0 , debe
h
ser h > 0 y f ( x0 + h) − f ( x0 ) > 0 , o bien h < 0 y f ( x0 + h) − f ( x0 ) < 0 . Los valores de x e
f ( x0 + h) − f ( x0 )
y = f ( x) aumentan, o disminuyen, simultáneamente. Pero si < 0 a un
h
aumento de x ( h > 0 ) corresponde la disminución de y = f ( x) ( f ( x0 + h) − f ( x0 ) < 0 ), o a
la disminución de x ( h < 0 ) el aumento de y = f ( x) ( f ( x0 + h) − f ( x0 ) > 0 ).
f ( x0 + h) − f ( x0 )
Por otra parte, el valor absoluto, , indica la proporción del cambio: si el
h
cambio en x significa un gran o pequeño cambio, comparativo, en la variable dependiente.
f ( x0 + h) − f ( x0 )
El cociente es la tasa de variación media de f en [ x0 , x0 + h ] (ó [ x0 + h, x0 ] ).
h
Estas ideas tienen una expresión más intuitiva, si la variable independiente es el tiempo, que
suele asociarse a la variable t. Si y = f (t ) es una función que recoge los valores de una cierta
f (t0 + h) − f (t0 )
magnitud a lo largo de un espacio de tiempo, es la “velocidad” media con
h
que ha cambiado el valor de y = f (t ) , entre el instante t0 y el instante t0 + h .
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,Usamos la palabra velocidad con absoluta propiedad, si s = s (t ) es la distancia, o espacio, que
lleva recorrida un móvil, por ejemplo un automóvil, en el instante t :
s (t0 + h) − s (t0 )
, cociente entre la distancia recorrida s (t0 + h) − s (t0 ) y el tiempo transcurrido
h
h es la velocidad media con que el móvil se ha movido en el rato [t0 , t0 + h ] .
t0 + h − t0 =,
s (t0 + h) − s (t0 )
Si el lapso de tiempo es muy pequeño ( h próximo a cero), es la velocidad
h
media del móvil en los momentos próximos a t0 , y utilizando la idea de límite:
La velocidad en el instante t0 , velocidad instantánea v(t0 ) , en el supuesto razonable de que
s (t0 + h) − s (t0 )
la velocidad no da saltos, ha de ser v(t0 ) = lim .
h →0 h
Definición de derivada.
Si y = f ( x) es una función definida en un intervalo I ⊂ y x0 ∈ I , cuando existe el límite
f ( x0 + h) − f ( x0 )
lim
h →0 h
se dice que y = f ( x) es derivable en x0 .
f ( x0 + h) − f ( x0 )
Escribiremos lim = f ´( x0 ) y llamaremos “derivada de f en x0 ” a este
h →0 h
número real, f ´( x0 ) , resultado del límite.
df dy
También se escribe ( x0 ) ó ( x0 ) dicha derivada.
dx dx
Significado geométrico de la derivada.
Siendo ( x0 , f ( x0 )) y ( x0 + h, f ( x0 + h)) dos puntos de la gráfica de y = f ( x) , el cociente
f ( x0 + h) − f ( x0 ) f ( x0 + h) − f ( x0 )
= es la pendiente de la recta que pasa por ambos, y a la
h x0 + h − x0
que por ello llamamos recta secante (que corta a la gráfica).
Supuesto que y = f ( x) es derivable en x0 , si h → 0 , el segundo punto ( x0 + h, f ( x0 + h))
acaba identificándose con ( x0 , f ( x0 )) y la recta secante, que cortaba a la gráfica de y = f ( x)
en ambos puntos, gira alrededor del punto ( x0 , f ( x0 )) , siendo su posición límite la recta que
f ( x0 + h) − f ( x0 )
pasa por ( x0 , f ( x0 )) con pendiente lim = f ´( x0 ) .
h →0 h
(Nota: Hemos supuesto, implícitamente, que la función es continua en el punto, lo que demostramos luego.)
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, Diremos que esta recta, de pendiente f ´( x0 ) , es la recta tangente a la gráfica de la función en
el punto ( x0 , f ( x0 )) .
La ecuación de la recta tangente, que pasa por ( x0 , f ( x0 )) y tiene pendiente f ´( x0 ) , es
=y f ´( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 )
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
y=f´(x0)(x-x0)+f(x0)
f(x0+h)
f(x0)
y=f(x)
x0 x0+h
Propiedades de una función en los puntos donde es derivable.
i) Continuidad :
Sea y = f ( x) derivable en x0 .
En lo que sigue pondremos = =
x x0 + h , con lo que lim f ( x) lim f ( x0 + h) .
x → xo h →0
f ( x0 + h) − f ( x0 )
Por otra parte, f ( x) = f ( x0 ) + ( f ( x) − f ( x0 )) = f ( x0 ) + h . Luego:
h
f ( x0 + h) − f ( x0 )
lim f (=
x) lim f ( x0 +=
h) lim( f ( x0 ) + =h) f ( x0 ) + f ´( x0 )=
⋅ 0 f ( x0 )
x → xo h →0 h →0 h
Si y = f ( x) es derivable en x0 , es también continua en x0 .
Pero, el recíproco no es cierto. Si una función es continua en un punto, no es necesariamente
derivable en ese punto. Por ejemplo f ( x) = x (valor absoluto) es continua en x = 0 .
d x h−0 h
La derivada= = lim
(0) lim no existe.
dx h →0 h h →0 h
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