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Curso: 1º; Asigantura: Matemáticas; Tema: Funciones Reales(común para ADE, Economía, Marketing y Finanzas) 2,99 €
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Curso: 1º; Asigantura: Matemáticas; Tema: Funciones Reales(común para ADE, Economía, Marketing y Finanzas)
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Apuntes de la asignatura Matemáticas (tema: funciones reales), de primer curso de la facultad Sarriko, Bilbao (EHU). Apuntes comunes para las 5 carreras de esa facultad, ya que el primer año las asignaturas eran comunes para todos.

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  • 19 de enero de 2015
  • 21
  • 2011/2012
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FUNCIONES

El plano  2
Si a, b ∈  , (a, b) es un par ordenado de números reales.
=
Siendo también c, d ∈  , es (a, b) = (c, d ) , si y solo si a c=
, b d.

Por tanto (a, b) = (b, a ) , solo si a = b . Por esta razón los llamamos pares ordenados.

El conjunto de todos los pares ordenados de números reales lo escribimos  ×  o  2 .
 2 =  ×  = {( x, y ) x ∈ , y ∈ }

El número a es la abscisa del par ordenado (a, b) ; su ordenada es b . Ambos, a y b ,
son las componentes o coordenadas de (a, b) .

El conjunto  2 se representa geométricamente mediante un plano en el que se han
“dibujado” dos rectas perpendiculares entre sí (ejes: horizontal o eje X y vertical o Y ),
a las que se considera rectas reales tras asignar, en las dos rectas, 0 al punto de corte y 1
a un punto determinado en cada recta, usando en ambas la misma unidad de medida.
Hecho esto, dado un punto P del plano, se trazan paralelas por dicho punto a los ejes.
Si a es el número real que corresponde, en el eje horizontal, al punto de corte de dicho
eje y la paralela vertical, y b es el número que corresponde, en el eje vertical, al punto
de corte de dicho eje y la paralela horizontal, se hace corresponder (a, b) ∈  2 a P .

Recíprocamente, partiendo de (a, b) ∈  2 , se marca en el eje horizontal el punto
asociado al número real a , y en el eje vertical el punto asociado a b . El punto donde las
paralelas a los ejes, por estos puntos así marcados, se cortan es el punto P que
corresponde a (a, b).

Establecida esta correspondencia biunívoca entre plano y conjunto  2 , diremos que  2
es el plano real.
Distancia en  2 :
Dados (a, b) y (a´, b´) elementos de  2 , teniendo en cuenta su representación gráfica y
usando el teorema de Pitágoras, es obligado definir la distancia, d = d ((a, b), (a´, b´)) ,
entre ambos puntos, o pares ordenados, de modo que:

d 2 = a´−a + b´−b = (a´−a ) 2 + (b´−b) 2
2 2




Luego d = (a´−a ) 2 + (b´−b) 2




1

, b´ (a´,b´)




d

a a´


b (a,b)

Si (a, b) es un punto del plano  2 y es r > 0 , todos los puntos del plano,  2 , que están
a distancia fija r del punto (a, b) forman la circunferencia de centro (a, b) y radio r .
Esta circunferencia corresponde al conjunto:

{( x, y) ∈  2
{
d (( x, y ), (a, b)) = r} = ( x, y ) ∈  2 ( x − a) 2 + ( y − b) 2 = r 2 }
Por ello diremos que ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 =
r 2 es la ecuación de la circunferencia de
centro (a, b) y radio r .


Funciones reales de una variable real.
Una magnitud o “variable” y es función de otras magnitudes variables x1 , x2 ,...., xn ,
cuando cada combinación concreta de valores de estas últimas determina un valor único
de y . Esta situación se expresa escribiendo

y = f ( x1 , x2 ,...., xn )

Entonces y es la variable dependiente, siendo x1 , x2 ,...., xn las variables independientes.

El caso más sencillo es, por supuesto, cuando la variable y depende (es función) de
una sola variable x , y por tanto y = f ( x) . Diremos que y es función de una variable.
En este curso vamos a estudiar funciones de una variable, en las que toman, tanto la
variable dependiente y como la independiente x , valores numéricos reales.
Sea D ⊂  el conjunto de los valores posibles de x . Si disponemos de una regla que, a
cada valor de x ∈ D , hace corresponder un único número real, valor de y , tendremos
definida en D una función real de una variable real que vamos a llamar, por ejemplo,
f : escribimos entonces y = f ( x ) .




2

, La regla que asocia, a cada valor de la variable independiente, el número real
correspondiente puede estar dada por una tabla (con dos columnas de valores), un
gráfico, una “fórmula matemática”, etc.
Vamos a escribir f : D →  para designar una función real definida en D ⊂  .
D es entonces el dominio de f : D = Dom f .
Dado un valor de x , su asociado y = f ( x ) se llama imagen de x por f .
El conjunto de imágenes (valores que alcanza y ) es el rango de f :

Ran f ={ y = f ( x) ∈  x ∈ D} .

f : [ 0,1] → 
Ejemplo: es la forma ultraortodoxa de escribir la función real,
x → x3

definida en el intervalo cerrado [ 0,1] , que hace corresponder su cubo o tercera

potencia x 3 = x ⋅ x ⋅ x , a cada número real x de dicho intervalo.
=
Más simple, se escribe: y f=
( x) x 3 (o también y = x 3 ), siendo 0 ≤ x ≤ 1 .
Muchas veces se expresa una función mediante una fórmula, por ejemplo

=y x 3 + 1 , sin concretar el dominio de definición.
Entenderemos que la función está definida en el “campo de definición” de dicha
fórmula, es decir el conjunto de valores de x ∈  para los que tiene sentido: en este

caso {x x 3
+ 1 ≥=
0} { x x ≥ −1}

Gráfica de una función real de una variable.
Si f : D →  es una función real de una variable, su gráfica es el conjunto de los
pares ordenados formados por cada valor de x ∈ D y su imagen, y = f ( x ) , por f :

=
Gr f {( x, f ( x)) x ∈ D} ⊂  2 .

Siendo la gráfica de una función de una variable un subconjunto de  2 , le corresponde
un “dibujo” (conjunto de puntos) en el plano de coordenadas.
Un dibujo, en el plano de coordenadas, es la gráfica de una función, si y solo si en cada
recta vertical (paralela al eje de ordenadas Y ) hay un único o ningún punto del dibujo.
En efecto, si es gráfica de una función, como todos los puntos de una determinada recta
vertical tienen la misma abscisa, sea x , y para ese valor x a lo sumo un valor de y ,




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