Notas de lectura
Funciones polinomiales y sus gráficas
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El documento abarca el tema de las funciones polinomiales y se agregan ejemplos y reglas que ayudan a identificarlas y graficarlas
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Funciones polinomialesLas funciones polinomiales son casos particulares de la expresión:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎3 𝑥 3 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎1 𝑥1 + 𝑎0
En la que:
𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛−1 , … , 𝑥 3 , 𝑥 2 , 𝑥1 , 𝑥 0 Representan la variable x con sus distintas potencias.
𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1 , … , 𝑎3 , 𝑎2 , 𝑎1 , 𝑎0 Son números reales y se denominan coeficientes.
Definición de función polinomial
a) La relación 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎3 𝑥 3 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎1 𝑥1 + 𝑎0 es la regla de
correspondencia de una función polinomial en la variable x.
b) n es el grado de la función y la mayor de las potencias.
c) 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1 , … , 𝑎3 , 𝑎2 , 𝑎1 , 𝑎0 con 𝑎𝑛 ≠ 0 son números reales y se denominan coeficientes.
d) 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 , 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 , … , 𝑎3 𝑥 3 , 𝑎2 𝑥 2 , 𝑎1 𝑥1 𝑦 𝑎0 son los términos del polinomio.
e) 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 es el término dominante y 𝑎0 es el término independiente.
Para cuestiones prácticas, las formas de simplificar la escritura de funciones polinomiales son:
a) Se escribe 𝑎0 en lugar de 𝑎0 𝑥 0
b) Se escribe 𝑥 en lugar de 𝑥1
a) Se escribe 𝑛𝑛 en lugar de 1 ⋅ 𝑥 𝑛
b) No se escriben los términos con coeficiente cero.
Función polinomial Regla de correspondencia Términos Grado Coeficientes
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 2 + 12 𝑓 (𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 2 + 12 𝑥 3 , 𝑥 2 𝑦 12 3 1, 1 y 12
𝑔(𝑥) = 4𝑥 5 + 𝑥 − 18 𝑔(𝑥) = 4𝑥 5 + 𝑥 − 18 4𝑥 5 , 𝑥, −18 5 4, 1 y -18
ℎ (𝑥) = 𝑥 4 − 112 ℎ(𝑥) = 𝑥 4 − 112 𝑥 4 𝑦 112 4 1 y -112
Las variables no siempre serán “x”, también se pueden encontrar ejercicio con variables diferentes,
tales como:
a) 𝑓 (𝑣) = 𝑣 3 + 𝑣 2 + 12 función polinomial en la variable 𝑣.
b) 𝑔(𝑤) = 4𝑤 3 + 5𝑤 2 + 9𝑤 + 2 función polinomial en la variable 𝑤.
c) ℎ(𝑦) = 4𝑦 2 + 5𝑦 4 + 2𝑦 + 2 función polinomial en la variable 𝑦.
, Analizando el comportamiento de las funciones 𝑓 (𝑥) = 𝑥 3 y 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 con 𝑥 ∈ 𝐼𝑅 tenemos:
𝒙 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟒
-4 -64 256
-3 -27 81
-2 -8 16
-1 -1 1
0 0 0
1 1 1
2 8 16
3 27 81
4 64 256
Representando los resultados en un plano cartesiano tenemos:
Comportamiento de: Comportamiento de:
𝑓 (𝑥) = 𝑥 3 𝑓 (𝑥) = 𝑥 4
La representación gráfica de 𝑦 = 𝑥 3 sobre el eje vertical (eje y) de la curva es precisamente
todo el eje vertical, por lo tanto su conjunto imagen son todos los números reales.
La proyección de la representación gráfica de la curva 𝑦 = 𝑥 4 sobre el eje vertical es
únicamente sobre la parte positiva, por consiguiente el conjunto imagen son todos los
números positivos.
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