Ejercicios - Vectores, rectas y planos en el espacio
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Grado
Matemáticas III (MA1116)
Institución
Universidad Simón Bolívar
Book
Multivariable Calculus, Linear Algebra, and Differential Equations
Ejercicios relacionados con la multiplicación escalar y vectorial de vectores, ecuaciones del plano y la recta, producto mixto, módulos de vectores y planos cartesianos en 3 dimensiones
1. Sean u, v ∈ R3 dos vectores ortogonales con normas a y b, respectivamente, calcular
u · 2v − u 2u + 3v × v − 3u
2. Consideremos las rectas
3 − 2x y−2 1 − 5z
L1 : x, y, z − 1, 4, −2 = t 3, −2, 1 y L2 : = = .
6 2 5
Hallar la ecuación del plano que contiene a ambas rectas.
3. Sean los planos π1 : x − y + z = 1 y π2 : 2x + 3z = 0
(a) Hallar la ecuación de la recta L paralela a dichos planos y que pasa por el punto P (1, −1, 1).
(b) Hallar la ecuación del plano π perpendicular a los planos dados y que pasa por el punto
Q (1, 1, 0).
(c) Encontrar el punto de intersección de L con π.
1 3
4. Hallar la ecuación del plano que pasa por , 1, − y cuyo vector normal tiene longitud 2 y dos
2 2
π π
de sus ángulos directores son α = y β= .
4 3
2x + 3y + z = 0
5. Conseguir la solución del sistema más cercana a P (1, 1, 1).
x+y−z =0
y+α 2αx + y + z = 1
6. Dadas las rectas L1 : 1 − x = = z y L2 : . Determine
α−1 x+y+z+2 = 0
(a) El valor de α para el cual L1 y L2 son ortogonales.
(b) Para α = 2, la recta proyección ortogonal de L1 sobre el plano de ecuación
π1 : x + y + z + 2 = 0.
(c) Para α = 2, la distancia entre las rectas L1 y L2 .
7. Dados los siguientes puntos: A (3, 2, 4), B (0, 2, 4), C (−1, 4, 2), D (2, 4, 2) y E (3, 2, 7).
(a) Calcule el área del triángulo DEA.
(b) Calcule el volumen del sólido EDCBA.
(c) Calcule la distancia del punto G (−5, 6, −3) a la recta que pasa por los puntos E y C.
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