Notas de lectura
Funciones, Polinomios en Matlab
- Institución
- Universidad De Cádiz
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16 1 Lo que no se puede ignorar1.4 Funciones reales
Este capı́tulo tratará de la manipulación de funciones reales definidas
fplot sobre un intervalo (a, b). El comando fplot(fun,lims) dibuja la gráfica
de la función fun (que se almacena como una cadena de caracteres) sobre
el intervalo (lims(1),lims(2)). Por ejemplo, para representar f (x) =
1/(1 + x2 ) sobre el intervalo (−5, 5), podemos escribir
>> fun = ’ 1/(1+ x .^2) ’ ; lims =[ -5 ,5]; fplot ( fun , lims );
o, más directamente,
>> fplot ( ’ 1/(1+ x .^2) ’ ,[ -5 5]);
MATLAB obtiene la gráfica muestreando la función sobre un con-
junto de abscisas no equiespaciadas y reproduce la verdadera gráfica de
f con una tolerancia de 0.2%. Para mejorar la precisión podrı́amos usar
el comando
>> fplot ( fun , lims , tol ,n , ’ LineSpec ’ ,P1 , P2 ,..).
donde tol indica la tolerancia deseada y el parámetro n (≥ 1) asegura
que la función será dibujada con un mı́nimo de n + 1 puntos. LineSpec
es una cadena de caracteres que especifica el estilo o el color de la lı́nea
utilizada para hacer la gráfica. Por ejemplo, LineSpec=’--’ se utiliza
para una lı́nea discontinua, LineSpec=’r-.’ para una lı́nea roja de pun-
tos y trazos, etc. Para usar valores por defecto para tol, n o LineSpec
se pueden pasar matrices vacı́as ([ ]).
eval Para evaluar una función fun en un punto x escribimos y=eval(fun),
después de haber inicializado x. El valor correspondiente se almacena en
y. Nótese que x y, por tanto, y pueden ser vectores. Cuando se usa este
comando, la restricción es que el argumento de la función fun debe ser
x. Cuando el argumento de fun tenga un nombre diferente (este caso es
frecuente si este argumento se genera en el interior de un programa), el
comando eval se reemplazará por feval (véase la Observación 1.3).
grid Finalmente señalamos que si se escribe grid on después del comando
fplot, podemos obtener una rejilla de fondo como en la Figura 1.1.
Octave 1.3 En Octave, usando el comando fplot(fun,lims,n) la
gráfica se obtiene muestreando la función definida en fun (ese es el nom-
bre de una function o una expresión que contenga a x) sobre un conjunto
de abscisas no equiespaciadas. El parámetro opcional n (≥ 1) asegura
que la función será dibujada con un mı́nimo de n+1 puntos. Por ejemplo,
para representar f (x) = 1/(1 + x2 ) usamos los comandos siguientes:
>> fun = ’ 1./(1+ x .^2) ’ ; lims =[ -5 ,5];
>> fplot ( fun , lims ) �
, 1.4 Funciones reales 17
1.4.1 Los ceros
Recordamos que si f (α) = 0, α se llama cero de f o raı́z de la ecuación
f (x) = 0. Un cero es simple si f (α) = 0, y múltiple en caso contrario.
De la gráfica de una función se puede inferir (dentro de cierta tole-
rancia) cuáles son sus ceros reales. El cálculo directo de todos los ceros
de una función dada no siempre es posible. Para funciones que son poli-
nomios de grado n con coeficientes reales, es decir, de la forma
n
�
pn (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn = ak x k , ak ∈ R, an = 0,
k=0
podemos obtener el único cero α = −a0 /a1 , cuando n = 1 (es decir p1
representa una lı́nea recta), o los dos ceros, α+ �
y α− , cuando n = 2 (esta
vez p2 representa una parábola) α± = (−a1 ± a21 − 4a0 a2 )/(2a2 ).
Sin embargo, no hay fórmulas explı́citas para los ceros de un poli-
nomio arbitrario pn cuando n ≥ 5.
En lo que sigue denotaremos por Pn el espacio de polinomios de grado
menor o igual que n,
n
�
pn (x) = ak x k (1.9)
k=0
donde los ak son coeficientes dados, reales o complejos.
Tampoco el número de ceros de una función puede ser, en general,
determinado a priori. Una excepción la proporcionan los polinomios,
para los cuales el número de ceros (reales o complejos) coincide con el
grado del polinomio. Además, si α = x+iy con y = 0 fuese un cero de un
polinomio de grado n ≥ 2 con coeficientes reales, su complejo conjugado
ᾱ = x − iy también serı́a un cero.
Para calcular en MATLAB un cero de una función fun, cerca de un
valor x0, real o complejo, se puede utilizar el comando fzero(fun,x0). fzero
El resultado es un valor aproximado del cero deseado, y también el inter-
valo en el que se hizo la búsqueda. Alternativamente, usando el comando
fzero(fun,[x0 x1]), se busca un cero de fun en el intervalo cuyos ex-
tremos son x0,x1, con tal de que f cambie de signo entre x0 y x1.
Consideremos, por ejemplo, la función f (x) = x2 − 1 + ex . Obser-
vando su gráfica se ve que existen dos ceros en (−1, 1). Para calcularlos
necesitamos ejecutar los comandos siguientes:
fun = inline ( ’x ^2 - 1 + exp ( x ) ’ , ’x ’)
fzero ( fun ,1)
ans =
5.4422e-18
fzero ( fun , -1)
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