Contenido
I. INTRODUCCIÓN .................................................................................................................. 7
II. MARCO TEÓRICO .............................................................................................................. 11
a. Breve introducción .......................................................................................................... 11
b. Factores que dificultan el aprendizaje de las matemáticas ............................................... 13
c. ¿Por qué conviene integrar la historia de las matemáticas en su enseñanza? ................... 15
d. ¿Cómo hacemos para integrar la historia? ....................................................................... 21
e. En materia de Trigonometría ........................................................................................... 25
III. HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA .................................................................................... 29
a. Breve contexto histórico .................................................................................................. 29
b. Aportaciones griegas........................................................................................................ 31
IV. GEOMETRÍA Y EUCLIDES ................................................................................................... 39
V. TRIGONOMETRÍA Y PTOLOMEO. ....................................................................................... 53
a. Tabla de Cuerdas de Hiparco ........................................................................................... 54
b. El Almagesto de Ptolomeo ............................................................................................... 56
c. Una mirada a algunos aspectos del Almagesto................................................................. 57
d. ¿Qué debe saber un lector acerca del Almagesto? ........................................................... 57
VI. ¿CÓMO INTEGRAR LA HISTORIA EN LA ENSEÑANZA DE LA TRIGONOMETRÍA? .................. 75
CONCLUSIONES ............................................................................................................... 81
FUENTES DE CONSULTA ................................................................................................... 83
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,I. INTRODUCCIÓN
La enseñanza de la trigonometría a nivel medio superior sufre una dicotomía que
implica un serio obstáculo para los alumnos. Por un lado se acostumbra iniciar con
la trigonometría del triángulo, en la que los ángulos se miden en grados y las
funciones trigonométricas se definen como las razones entre los lados de un
triángulo rectángulo. Por otro lado, está la trigonometría del círculo, en la que los
ángulos se miden en radianes y las funciones trigonométricas se expresan en
términos de las coordenadas de un punto del círculo unitario con centro en el
origen. ¿Acaso es de asombrarse que el alumno se sienta confundido al enfrentar
estos dos tan distintos enfoques conceptuales de la trigonometría? Una vez que los
alumnos empiezan a utilizar el seno y coseno como ejemplos de funciones
periódicas, la trigonometría del círculo domina, pero ya es tradición que la
trigonometría del triángulo es la más sencilla y básica y que los estudiantes deben
abordarla previo a la introducción de la trigonometría del círculo.
Sin embargo, la historia de la trigonometría apunta exactamente en la dirección
opuesta. La trigonometría – la del círculo – surgió cuando los griegos clásicos
iniciaron el estudio del cosmos; tardó más de mil años desde los primeros esbozos
de la trigonometría con Hiparco, a principios del siglo II antes de nuestra era, para
que la trigonometría del triángulo hiciera su aparición. En el trabajo sobre sombras
de Al-Khwarizmi, a principios del siglo IX de nuestra era, se observa un énfasis en
el triángulo por encima del círculo, pero fue hasta el año 1021 cuando Al-Biruni lo
desarrolló formalmente en su Tratado Sobre las Sombras. Aun así, el uso de la
trigonometría de triángulos, en especial la interpretación de las funciones
trigonométricas como las razones entre los lados de un triángulo rectángulo, tuvo
su auge hasta el siglo XVI. Y el cambio de énfasis en la enseñanza de la
trigonometría del círculo a la del triángulo sucedió hasta mediados o finales del
siglo XIX.
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,El panorama histórico del desarrollo de la trigonometría, que a continuación se
presenta, expondrá un sólido argumento para abordar las funciones
trigonométricas iniciando desde la perspectiva del círculo.
Tenemos mucho que aprender de la historia; sin embargo tendemos a ignorar la
ruta histórica que llevó a nuestros ancestros a descubrir ideas matemáticas
importantes. Sería muy acertado iniciar el estudio de la trigonometría imitando a
los astrónomos que descubrieron y exploraron las relaciones entre las medidas de
arco y medidas de segmentos en un círculo unitario. De esta manera es posible
percibir un significado más concreto y comprensible. De ahí, será entonces factible
argumentar desde la perspectiva de triángulos semejantes, que dichas funciones
también pueden representar razones. Trabajar de manera inversa, es decir, hacer
que los alumnos primero memoricen las funciones trigonométricas como razones
para después hacer la transición a conceptualizarla como longitudes, es un proceso
que conlleva mayor dificultad. En palabras de Henri Poincaré, “La labor del
educador es lograr que el espíritu del niño recorra el camino de sus antepasados,
moviéndose rápidamente a través de algunas etapas, pero eliminando ninguna. En
este sentido, nuestra guía debe ser la historia de las ciencias” (1899, p.160).
Efectivamente, el uso de la historia de las matemáticas como un recurso en su
enseñanza es una metodología cada vez más aceptada y difundida en muchas
partes del mundo. Esto es evidente en las oportunidades para debatir y discutir el
tema que se ofrece en reuniones, conferencias y seminarios dedicados a la
enseñanza de las matemáticas. En estos foros se disciernen al menos tres diferentes
campos de investigación en este debate: historia de las matemáticas, historia de la
educación matemática e historia en la educación matemática. El presente trabajo se
desarrolla alrededor de ésta última ramificación.
En las discusiones y debates entre educadores matemáticos se han establecido una
serie de metas para la incorporación de la historia de las matemáticas en su
enseñanza, entre las cuales destacan:
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, Mostrar el lado humano de las matemáticas, al concebirlas como un producto
histórico, social y cultural;
lograr que el estudiante comprenda los objetivos, valores, conceptos, métodos y
demostraciones en las diferentes actividades que involucran a las matemáticas;
conseguir que los estudiantes adquieran una actitud positiva hacia la práctica de
las matemáticas a través de sumergir en un contexto histórico los problemas
que en clase se proponen.
Con objeto de alcanzar las metas anteriormente expuestas así como proporcionar
fundamentos teóricos y epistemológicos en el uso de la historia en la enseñanza de
las matemáticas, investigadores y profesores han explorado diferentes vías. Sin
embargo, a pesar de estos esfuerzos, aún existen cuestiones por discutir, entre las
que se pueden mencionar:
¿Qué propuestas, prácticas, estrategias pedagógicas son relevantes y útiles para
el establecimiento exitoso de un diálogo entre la historia de las matemáticas y
su enseñanza?
¿En qué perspectivas teóricas se basa la integración de la historia a la enseñanza
de las matemáticas?
¿En qué medida la producción de nuevos textos basados en la historia de las
matemáticas puede contribuir a una mejor enseñanza?
¿De qué manera pueden las TIC ayudar a promover el diálogo entre historia y
educación matemática?
Dado que la enseñanza de la trigonometría está presente en los planes de estudio
de los diferentes programas de enseñanza media superior, el presente trabajo
pretende reunir suficiente evidencia teórica que respalda la importancia de
incorporar la historia en la enseñanza de las matemáticas, así como presentar un
panorama histórico del desarrollo de la trigonometría con objeto de discutir
algunas de las cuestiones arriba planteadas y hacer ver el potencial que tiene el
permitir que la historia permee las matemáticas en el aula.
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