ÍNDICE
Introducción 01
1. Enseñanza de las matemáticas:
reto conocido, alternativas necesarias. 05
1.1 Mirada crítica al programa de estudios de matemáticas IV de la ENP. 07
1.2 Significado interno y externo del conocimiento matemático:
fundamento didáctico. 11
1.3 Enseñanza situada y motivación escolar:
fundamentos psicopedagógicos. 13
2. La Matemática como Lenguaje de la Naturaleza. 19
2.1 Los pitagóricos: misticismo y realidad matemática. 22
2.2 Galileo y la matematización de la naturaleza. 28
Ejemplos 33
2.3 Otras perspectivas sobre el desarrollo de las matemáticas. 45
3. Propuesta didáctica basada en
“la matemática como lenguaje de la naturaleza”. 49
3.1 Problemas pseudoreales y el proceso de matematización de la realidad:
dificultades y oportunidades para transformar la práctica docente. 49
3.2 Ejemplos de la propuesta didáctica:
construcción de situaciones de aprendizaje y puesta en práctica. 56
Ejemplo 1: Φ y la divina proporción 57
Ejemplo 2: Cálculo de la profundidad de un pozo en función del
tiempo de caída de un objeto 75
Ejemplo 3: El Péndulo. 85
4. Conclusiones 95
Anexo 105
Bibliografía 119
,INTRODUCCIÓN
Pensaron -los pitagóricos- que los elementos de los Números eran los elementos
de todos los seres, y que todo el cielo era armonía y número, nos dijo Aristóteles.
Filolao afirmó: todo es número. Galilei por su parte, expresó: La filosofía está
escrita en ese grandísimo libro que tenemos abierto ante los ojos, quiero decir, el
universo, pero no se puede entender si antes no se aprende a entender la lengua,
a conocer los caracteres con los que está escrito. Está escrito en lengua
matemática...
Tales citas aluden a la idea central y título de la tesis: “La matemática
como lenguaje de la naturaleza: una propuesta de motivación al estudio del
álgebra”. La idea que subyace en esta metáfora es la de las matemáticas como
una forma de explicar, modelar y predecir diversos fenómenos de la naturaleza.
Con esto, ante el cuestionamiento frecuente que hacen los estudiantes –
explícita o implícitamente–, respecto al sentido e importancia del estudio de las
matemáticas, se busca ofrecer respuestas, promover una mayor participación e
interés por parte de ellos, en tanto la propuesta didáctica que aquí se presenta,
muestra como las matemáticas logran modelar de manera efectiva diversos
fenómenos, así como sugiere formas y contenidos para abordarse con los
estudiantes de bachillerato para el estudio de algunos temas del álgebra.
Cabe decir que en el momento de la búsqueda y definición de un tema de
tesis, resultó que al analizar la estructura y contenidos del programa de
Matemáticas IV de la Escuela Nacional Preparatoria, realizamos observaciones
y críticas al mismo; entre las principales, detectamos que se hace énfasis en la
etapa de definiciones y operaciones, como un antecedente a las aplicaciones.
Sin que llegue a rechazar tajantemente la pertinencia de la perspectiva
didáctica implicada en tal organización, la crítica sirvió para reflexionar y,
sobre todo, proponer una perspectiva alterna, aquella que procurará ampliar el
[1]
,sentido al estudio del álgebra y que motivara a los estudiantes, antes de
solicitarles llevar a cabo diversos procedimientos con escasa referencia a
elementos concretos o desvinculados de aplicaciones o de un sentido de utilidad.
Es precisamente en el Capítulo 1, en el que ahondo en dicha crítica al
programa y en los fundamentos de la propuesta de este trabajo: didácticos,
respecto a las características del conocimiento matemático, y pedagógicos, al
hablar de enseñanza situada y del componente motivacional en el proceso de
enseñanza-aprendizaje. Todo esto, luego de fijar una postura respecto a que la
propuesta didáctica no se construye a partir de la descalificación o desprecio a
una perspectiva, sino a la necesidad de buscar alternativas didácticas, como
una forma de enriquecer y ampliar los recursos que tenemos a nuestro alcance
los profesores.
En el segundo capítulo: “La matemática como lenguaje de la naturaleza”,
entro de lleno al análisis histórico y conceptual de esta metáfora. Para hacerlo,
elegí dos momentos históricos que considero de suma trascendencia: el de los
pitagóricos y el correspondiente a la vida y obra de Galileo Galilei. De ellos –
más de este, ya que en los pitagóricos su postura mantuvo un fuerte
componente místico– retomo ejemplos que ilustran acerca de las matemáticas
como una herramienta para modelar fenómenos. Ha resultado muy ilustrativo
analizar los ejemplos en los que se observa claramente la efectividad de las
matemáticas para establecer la relación cuantitativa entre variables físicas.
Aunado a lo anterior, me ha resultado sumamente satisfactorio el análisis que
he hecho de ideas desarrolladas por Galilei. Reconstruirlas y comprenderlas ha
sido una confirmación de la extraordinaria creatividad e ingenio del autor.
Espero que pueda transmitir tal ánimo en el lector, con lo cual pretendo
contribuir a la reflexión y replanteamiento de perspectivas personales en torno
a un discurso: el que tiene que ver con el sentido e importancia que asignamos
al papel de la imaginación y la creatividad en el desarrollo de la ciencia y para
el ejercicio de las matemáticas; además, en lo que respecta al sentido de éstas y
[2]
, su papel en la formación en el bachillerato. Para cerrar el capítulo, consideré
pertinente señalar que la perspectiva de “la matemática como lenguaje de la
naturaleza”, si bien es cierto que es de suma importancia y vigencia, no agota el
potencial y descripción del significado de las matemáticas, sus aplicaciones y
relación con el estado actual de la disciplina y de los profesionales dedicados a
ella. Sin duda que una buena parte del desarrollo actual de éstas, está alejado
de preocupaciones respecto a la relación que guardan con la realidad. Se trata,
en buena medida, de un desarrollo independiente. Para referirme a esto hablo
de “Otras perspectivas sobre el desarrollo de las matemáticas”.
En el capítulo 3, presento la “Propuesta didáctica basada en la
matemática como lenguaje de la naturaleza”, la cual conforma la parte central
de mi trabajo. Una vez que se revisó la perspectiva de “la matemática como
lenguaje de la naturaleza”, la propuesta es la concreción de aquella para que se
aborde en los grupos de matemáticas en el bachillerato, en especial en el
tratamiento de algunos temas del álgebra. La idea es sugerir y proponer una
serie de recursos, antecedentes teóricos y experiencias, para abordar ejemplos
con los estudiantes. Cabe aclarar que la propuesta está dirigida
fundamentalmente a los docentes, con el propósito de aportar elementos de
reflexión en torno al sentido de los conocimientos matemáticos y la didáctica de
los mismos. Por supuesto que, como suele ocurrir en los procesos de enseñanza-
aprendizaje, los mismos docentes decidirán la forma de replantear y
reconstruir las estrategias didácticas que yo planteo. Podemos hablar de una
propuesta en el ámbito de la reflexión y análisis del conocimiento matemático,
a partir de la investigación que emprendí, las estrategias que planteo e
implementé, así como de las experiencias que comparto.
El punto de partida de la propuesta, es el apartado “Problemas
pseudoreales y el proceso de matematización de la realidad”, con el cual vierto
una serie de reflexiones acerca de problemas que con frecuencia se presentan
[3]
