Índice
1. Geometrı́as en Espacios Vectoriales 4
1.1. Los Grupos Clásicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Álgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. Álgebra Tensorial Asociada a un Espacio Vectorial 9
2.1. La Propiedad Universal del Álgebra Tensorial . . . . . . . . . . . 12
2.2. Álgebras G-graduadas y su Producto Tensorial . . . . . . . . . . 12
3. Construcción de K-álgebras a Partir del Álgebra Tensorial 15
3.1. Graduaciones y Filtraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2. Z2 -graduación de W(V, B) y Cl(V, B) . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3. Relación entre S(V ) y W(V, B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4. Relación entre ΛV y Cl(V, B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4. El Álgebra Exterior 24
4.1. Operador de Hodge Asociado a una Geometrı́a . . . . . . . . . . 25
4.2. Formas Diferenciales y Derivada Exterior . . . . . . . . . . . . . 28
5. El Álgebra de Clifford 36
5.1. Los Grupos Pin y Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2. Clasificación de las Álgebras de Clifford . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3. El Elemento Γ ∈ Cl(p, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6. El Álgebra Cl(2, 0) 44
6.1. Operador de Hodge en Cl(2, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.2. Correspondencia con la Derivada Exterior, la Codiferencial y el
Operador de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.3. Ecuaciones de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7. El Álgebra Cl(3, 1) 50
7.1. Operador de Hodge en Cl(3, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.2. Correspondencia con la Derivada Exterior, la Codiferencial y el
Operador de Dirac. Las Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . 55
7.3. Invariantes Relativistas del Electromagnetismo Clásico . . . . . . 59
8. El Álgebra Cl(4, 2) 60
8.1. Operador de Hodge en Cl(4, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8.2. Derivada Exterior y Codiferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.3. Recorrido desde las Ecuaciones Maxwell en Cl(4, 2) hasta el Gru-
po de Transformaciones Conformes del Espacio-tiempo de Min-
kowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
9. Conclusiones 69
1
,Introducción
En el presente trabajo exploraremos el isomorfismo de espacios vectoriales que
hay entre cada álgebra de Clifford y su álgebra exterior subyacente. Las for-
mas diferenciales de una variedad son, localmente, funciones con valores en un
álgebra exterior; el mencionado isomorfismo permite establecer, localmente, una
correspondencia biyectiva entre formas diferenciales y funciones con valores en
un álgebra de Clifford. En esta tesis se busca evidenciar, a través de ejemplos
sencillos y bien conocidos, las ventajas de escribir las ecuaciones geométricas
básicas asociadas a una estructura ortogonal dada, o más generalmente, a una
métrica pseudo-Riemanniana, a través de funciones valuadas en un álgebra de
Clifford apropiada.
Por ejemplo, al hacer corresponder las formas diferenciales del espacio de
Minkowski R3,1 con funciones valuadas en su álgebra de Clifford Cl(3, 1), las
ecuaciones de Maxwell adoptan exactamente la forma de la ecuación de Dirac
(en el sentido que se explica en el capı́tulo 4) : D(E + iB) = J, siendo (E + iB) :
R3,1 → Cl(3, 1), J las componentes de las fuentes del campo electromagnético
debidamente identificadas dentro del álgebra de Clifford y D el operador de
Dirac, o raı́z cuadrada del operador D’Alambertiano; es decir, el Laplaciano en
un espacio con geometrı́a ortogonal de signatura (3, 1). Un propósito central de
esta tesis es explicar con todo detalle lo que está detrás de poder escribir las
ecuaciones de Maxwell de esta manera.
Para hacer autocontenida la exposición, dedicamos casi la primera mitad de
la tesis a una detallada introducción algebraica del tema. En los primeros dos
capı́tulos se definen los conceptos centrales a partir de los cuales se construye
el resto del trabajo. El primer concepto importante que se define es el de una
geometrı́a en un espacio vectorial, que es el equivalente algebraico a la métrica en
geometrı́a diferencial y que sirve para definir los grupos y álgebras de Lie clásicos.
El segundo capı́tulo está casi completamente dedicado al producto tensorial
entre espacios vectoriales y al álgebra tensorial.
En el tercer capı́tulo entra en juego toda la herramienta que se desarrolló en
los capı́tulos previos. Damos una introducción intuitiva y formal a la motivación
de las propiedades universales de las álgebras exterior, simétrica, de Clifford y de
Weyl y posteriormente a la construcción explı́cita de cada una de ellas. Se ponen
de manifiesto algunas interesantes relaciones entre cada una de estas álgebras
que, entre otras cosas, aclaran el por qué resulta natural presentar las cuatro
álgebras y no sólo algunas de ellas.
Dado que las álgebras exterior y de Clifford constituyen el eje central del
trabajo, dedicamos un capı́tulo completo a cada una de ellas. En el capı́tulo
del álgebra exterior, además de estudiar sus propiedades básicas, damos una
introducción a la geometrı́a diferencial que culmina en la definición de las formas
diferenciales -funciones con valores en un álgebra exterior- en un abierto de una
variedad. Se proporcionan las definiciones y descripciones en coordenadas locales
de los operadores derivada exterior, el operador de Hodge y el operador de Dirac.
Estos están definidos a priori en formas diferenciales pero son transformables a
operadores definidos en funciones con valores en un álgebra de Clifford.
, Finalmente, en el capı́tulo sobre las álgebras de Clifford describimos los as-
pectos más importantes que las caracterizan y usando algunos isomorfismos
elementales que se dan ahı́ mismo, es posible dar una clasificación completa
de las álgebras de Clifford. En particular, quedan sintetizados los principales
resultados de la sección en una tabla que recoge todas las álgebras de Clifford
asociadas a un espacio vectorial real V con geometrı́a ortogonal de signatura
(p, q) con 0 ≤ p, q ≤ 5. Asimismo, se hace especial énfasis en la importancia
de un elemento especial que tiene cada álgebra de Clifford. Dicho elemento lo
denotamos por Γ y es igual al producto de todos los elementos de la base de
V . Parte de dicha importancia radica en que bajo ciertas condiciones, el ele-
mento Γ define una estructura compleja de un espacio vectorial real W cuando
se representa al álgebra Cl(p, q) en el espacio de endomorfismos de W . En par-
ticular, dicha estructura compleja permite descomponer la imagen de toda la
representación en la suma directa de los endomorfismos de W que conmutan
con la imagen de Γ y los que anticonmutan con ella. Esta estructura compleja
permite, además, identificar un nuevo espacio vectorial complejo U y describir la
representación original de Cl(p, q) en el espacio de endomorfismos de W , como
pares de endomorfismos de U ; a saber, los lineales y los antilineales.
Un punto muy importante a enfatizar en este trabajo es que las álgebras
de Clifford derivadas de estructuras ortogonales con signaturas (p + 2, p), (p =
0, 1, 2, . . . ), como es el caso del álgebra de Clifford del espacio-tiempo de Min-
kowski, tienen la propiedad de que su elemento Γ define una estructura compleja
en un espacio vectorial W frente a cualquier representación de Cl(p + 2, p) como
endomorfismos W . Dicha estructura compleja definida por la imagen de Γ es
muy natural, puesto que el elemento Γ mismo es invariante, hasta un signo, bajo
los automorfismos del álgebra Cl(p + 2, p) inducidos por las transformaciones
ortogonales de Rp+2,p . La naturalidad de la estructura compleja definida por la
imagen de Γ en W , permite identificar, en√el espacio complejo U , la acción de la
imagen de Γ como multiplicación
√ por i = −1. En el ejemplo del campo electro-
magnético, E + iB, la i = −1 que aparece en el campo complejificado es preci-
samente la representante de dicha estructura compleja natural. Para el ejemplo
bidimensional de signatura (2, 0), las aludidas ecuaciones geométricas son las
ecuaciones de Cauchy-Riemann y pueden escribirse√en la forma D(u + iv) = 0,
siendo nuevamente D el operador de Dirac e i = −1, la estructura compleja
natural en el álgebra de Clifford Cl(2, 0).
Finalmente, se consideran las ecuaciones geométricas D(A + iB) = C en
el álgebra de Clifford asociada a la estructura ortogonal de signatura (4, 2). El
valor teórico de ésta radica en que existe un isomorfismo de álgebras de Lie —y
por lo tanto, un isomorfismo local de grupos de Lie— entre el álgebra de Lie
del grupo O(p + 1, q + 1) y el álgebra de Lie del grupo de las transformaciones
conformes asociadas a una estructura ortogonal de signatura (p, q).
, 1. Geometrı́as en Espacios Vectoriales
En esta sección presentaremos los conceptos fundamentales para definir lo
que vamos a entender como una geometrı́a en un espacio vectorial de dimen-
sión finita; nos restringiremos únicamente a espacios vectoriales sobre R o C.
Definiremos también las estructuras algebraicas que preservan una geometrı́a
dada.
Definición 1.1. Sea V un espacio vectorial sobre un campo K. Una función
B : V × V → K es una forma bilineal si,
B(x + y, z) = B(x, z) + B(y, z),
B(x, y + z) = B(x, y) + B(x, z),
B(λx, z) = B(x, λz) = λB(x, z); λ∈K (1)
Si K = C se tienen, además de formas bilineales, funciones sesquilineales.
Éstas, en lugar de cumplir (1), satisfacen,
B(λx, z) = λ̄B(x, z),
B(x, λz) = λB(x, z).
Definición 1.2. Si B es una función bilineal o sesquilineal, decimos que es no
degenerada cuando cumple que, si B(x, y) = 0 para toda x ∈ V , entonces y = 0.
Definición 1.3. Decimos que una función bilineal B es simétrica (resp. anti-
simétrica) si para todo x, y ∈ V se tiene que,
(
B(y, x),
B(x, y) =
−B(y, x).
Una función sesquilineal H es hermitiana (resp. anti-hermitiana) si para
todos x, y ∈ V , se tiene que,
(
H(y, x),
H(x, y) =
−H(y, x).
Las definiciones previas nos permiten definir una geometrı́a en V .
Definición 1.4. Si B es una forma bilineal, no degenerada y simétrica (resp.,
anti-simétrica) definida en V , decimos que V está equipado con una geometrı́a
ortogonal (resp., simpléctica). Análogamente si K = C y H es una forma ses-
quilineal, no degenerada y simétrica (resp. anti-simétrica) en V , decimos que V
está equipado con una geometrı́a unitaria (resp., anti-unitaria).
En cualquier caso decimos que B (resp., H) define la geometrı́a correspondiente
en V .
