El presente trabajo de tesis está enfocado a ayudar a resolver un problema en la enseñanza y aprendizaje del Cálculo. Acotaré el problema hacia la materia de Cálculo Diferencial e Integral I (a la cual, en adelante me referiré como Cálculo I impartida a los alumnos de primer ingreso de la Fa...
El presente trabajo de tesis está enfocado a ayudar a resolver un problema en la enseñanza y
aprendizaje del Cálculo. Acotaré el problema hacia la materia de Cálculo Diferencial e Integral I
(a la cual, en adelante me referiré como Cálculo I) impartida a los alumnos de primer ingreso de la
Facultad de Ciencias. Esto con el …n de evaluar el impacto del trabajo en los alumnos que apenas
comienzan su formación matemática formal de nivel superior.
Los cursos de Cálculo Diferencial e Integral son parte fundamental del plan de estudios de las
carreras de Actuaría, Ciencias de la Computación, Física y Matemáticas. La materia de Cálculo I
es el inicio de cuatro cursos de Cálculo que son parte de la formación profesional de los alumnos
durante los primeros dos años de la licenciatura. De ahí la importancia de que sea bien enseñado
por los profesores y bien aprendido por los alumnos.
Los conceptos del Cálculo son complicados y el alumno se enfrenta a diversas di…cultades en su
aprendizaje. Entre las di…cultades más comunes podemos citar la falta de las siguientes habilidades
en el estudiante: el manejo aritmético, el manejo simbólico, el desarrollo de un pensamiento lógico,
la comprensión del idioma inglés, entre otras. Esta última la menciono ya que al no poder consultar
la mayor parte de la bibliografía que está en inglés, los alumnos se encuentran limitados en sus
fuentes de aprendizaje.
El objetivo de la materia de Cálculo I es, como su nombre lo indica, que el alumno aprenda
a calcular. Para ello es importante que el alumno desarrolle destrezas matemáticas, es decir, un
buen manejo de la aritmética del Cálculo así como también un buen manejo de cómo entender
un problema, cómo resolver un problema, cómo saber qué herramientas usar para ello y dónde
buscarlas, así como saber interpretar la solución a ese problema. Sin embargo, la mayoría de los
alumnos de primer ingreso no conocen cuál es el pensamiento formal que se debe seguir para resolver
problemas. No saben estructurar su pensamiento para desarrollar una resolución en forma lógica
ni tienen la destreza aritmética ni la capacidad de indagación para ello. Lo anterior ocasiona que
carezcan de una visión completa de los problemas del Cálculo cuando se enfrentan a ellos.
Mi tesis es que si se enseñan temas introductorios al curso de Cálculo I a los alumnos de primer
ingreso, entonces podrán abordar el Cálculo con mayor comprensión y destreza. Teniendo un mejor
entendimiento de lo que es el Cálculo y por ende un mejor desempeño en el curso. Esto es, que el
1
,2 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
alumno va a aprender a leer matemáticas (de…niciones, axiomas, tablas de propiedades, símbolos), va
a aprender a escribir matemáticas con palabras que ya conoce y símbolos (de la lógica matemática),
va a aprender a pensar de forma lógica y lo más importante va a aprender a demostrar.
La consigna para poder probar la teoría citada fue elaborar un material didáctico y conseguir
un grupo de alumnos para aquellos …nes. Para abordar el primer punto, elaboré conjuntamente
con el profr. Agustín Ontiveros un cuaderno de notas de clase que es el cuerpo principal de esta
tesis. Y para el segundo, trabajé como ayudante del mismo profesor quien impartió el Curso de
Cálculo Diferencial e Integral I. El tiempo en el que trabajamos en este proyecto fue durante el
semestre 2009-1. El curso tuvo una duración normal de 16 semanas que corrieron del 11 de agosto
al 28 de noviembre con un período de exámenes …nales del 1 al 11 de diciembre del año 2008.
Nuestro equipo de trabajo estuvo además conformado por Martha Reyes (primera ayudante) y
Lilia Guadalupe Sánchez Terán (tercera ayudante).
La mecánica del trabajo en clase durante las tres primeras semanas del curso fue la siguiente:
El profesor Agustín enseñó los temas introductorios al curso de Cálculo I. Martha Reyes Martínez
y una servidora terminamos de cubrir los temas y resolvimos las dudas sobre ellos. Lilia Sánchez
cali…có las tareas e impartió un tema sobre Ecuaciones Diferenciales. A continuación resumo los
capítulos de esta tesis.
En el Capítulo 1 se dá una introducción al lenguaje simbólico y lógico que se va a utilizar a lo
largo del curso. También se presentan problemas de varias ramas de las matemáticas que sirvieron
para enseñar a los alumnos métodos de resolución. En el Capítulo 2 se presenta una introducción a
la teoría de conjuntos y las funciones. Finalmente en el Capítulo 3, presentamos una introducción
a los números reales y naturales. En este último abordamos los conceptos de supremo e ín…mo que
son unos de los conceptos básicos del Cálculo I.
En principio, esta tesis está dirigida a alumnos y profesores del curso de Cálculo Diferencial
e Integral I. Esto para incluirlo como material del temario y de este modo hacer más e…ciente el
rendimiento académico de los alumnos de primer ingreso.
, Capítulo 2
Breve introducción al Cálculo
2.1. El Lenguaje de las Matemáticas
En la vida cotidiana, para interactuar con sus semejantes, el ser humano necesita dominar un
lenguaje común. Así mismo, para comprender los elementos del Cálculo y usarlos como instrumentos,
el estudiante debe conocer y dominar el lenguaje de las matemáticas. Dicho lenguaje está compuesto
en sus bases por la Lógica Matemática. En este capítulo, estudiaremos los puntos más importantes
de la lógica. Así como sus aplicaciones a la resolución de problemas.
En matemáticas, cuando se desea probar un argumento se utiliza el sistema de la Lógica. La
Lógica Matemática se aplica para decidir cuando una situación sigue de otra o es una consecuencia
lógica (valga la redundancia) de una o más situaciones. Veamos las de…niciones siguientes:
De…nición. Proposición:
Oración que declara una situación o estado de cosas particular que puede ser cali…cada como
verdadera o falsa (pero no ambas). Se denota por letras como p; q; r; etc.
Ejemplo: (Estas proposiciones también son llamadas oraciones primitivas)
1. Está lloviendo.
2. n es par.
3. Existe un entero k tal que n = 4k + 2:
4. Si 2 divide a 3; entonces 10 es primo.
5. Si 2 divide a n; entonces n2 + 1 es primo.
6. Para todo entero n; n2 n es par.
2
7. Para todo entero n 0; n + n + 41 es primo.
8. Existe un entero n tal que n2 + n + 41 no es primo.
9. Para todo número x; x2 0:
10. No existen enteros positivos x; y; z; n con n > 2 tales que z n = xn + y n :
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