Contenido
Preface ix
1 Preliminares 1
1.1 Algunas nociones de topología . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Bases de vecindades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Comparación de topologías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Espacios vectoriales topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Operadores y funcionales lineales . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Espacios vectoriales de dimensión finita . . . . . . . . . . . . 17
1.7 Espacio cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Espacios localmente pseudoconvexos 25
2.1 Localmente p-convexos y pseudoconvexos . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Las p-seminormas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.2 Funcionales de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.3 Saturación de una familia de pseudoseminormas . . . 37
2.2 Operadores y funcionales lineales . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3 Espacios cocientes de localmente convexos . . . . . . . . . . 45
2.4 Conjuntos y espacios pseudoconvexos . . . . . . . . . . . . . 47
2.4.1 Conjuntos pseudoconvexos . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4.2 Espacios localmente pseudoconvexos en términos de
conjuntos pseudoconvexos . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.5 Topologías maximales pseudoconvexas . . . . . . . . . . . . 64
3 Álgebras semitopológicas y topológicas 79
3.1 Definiciones y resultados básicos . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.2 Tipos de álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.2.1 Álgebras normadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.2.2 Álgebras localmente convexas y m-convexas . . . . . 88
v
,vi CONTENIDO
3.2.3 Álgebras semitopológicas loc. pseudoconvexas . . . . 91
3.2.4 Algebras localmente A-convexas . . . . . . . . . . . . 92
3.3 Topologización de álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.3.1 Topología para un álgebra arbitraria que la hace se-
mitopológica localmente pseudoconvexa . . . . . . . . 96
3.3.2 Una topología localmente convexa para cualquier ál-
gebra numerablemente generada. . . . . . . . . . . . 98
3.3.3 Una topología m-convexa para cualquier álgebra A-
convexa. La topología de Oudadess . . . . . . . . . . 108
3.4 Existencia topología de Oudadess . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.4.1 El álgebra A−convexa A0 y los discos U y V . . . . . 117
3.4.2 La topología de Oudadess puede no existir . . . . . . 122
3.4.3 Condiciones suficientes para la existencia de la topo-
logía de Oudadess. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.4.4 Ejemplos de álgebras en las que existe la topología de
Oudadess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.5 Preguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
, Preface
En este trabajo se estudia el problema de dotar con una topología vectorial,
es decir respecto a la cual las operaciones lineales resulten continuas, a un
álgebra A sobre el campo F (R o C) y de manera que el producto en A
sea también continuo (a veces se dice: conjuntamente continuo en las dos
variables) o al menos continuo en cada variable.
Cuando se tiene una topología vectorial τ en un álgebra A con alguna
de estas dos características respecto a su producto, entonces se dice que
τ es una topología de álgebra. En el primer caso, (A, τ ) se llama álgebra
topológica y en el segundo, álgebra semitopológica.
Dada un álgebra A siempre es posible convertirla en un álgebra semito-
pológica e inclusive se puede lograr que la topología que le da tal estructura
sea localmente convexa, es decir que esté definida a través de una familia de
seminormas definidas en A. Sin embargo, no siempre se puede lograr que A
sea un álgebra topológica y cuando esto último sí es posible, dicha topología
no siempre es localmente convexa.
Al respecto hay trabajos realizados por A. Kokk, V. Müller y W. Że-
lazko. Esta tesis tiene como parte de sus fundamentos a tres de ellos: On
vector spaces and algebras with maximal locally pseudoconvex topologies, de
A. Kokk y W. Żelazko, On topologizable algebras, de V. Müller y On topol-
ogization of countably generated algebras, de W. Żelazko.
Se presentan topologías localmente pseudoconvexas, es decir, dadas por
pseudoseminormas, que incluyen a las p−localmente convexas, con 0 < p ≤
1, las que a su vez son una generalización de las localmente convexas (p = 1).
Con cualquiera de esas topologías se puede hacer semitopológica, localmente
pseudoconvexa, de Hausdorff y completa a cualquier álgebra.
Cuando un álgebra A no es numerablemente generada, entonces todas
esas topologías son distintas entre sí y por consiguiente, existe un continuo de
topologías que hacen a A un álgebra semitopológica de Hausdorff y completa.
Si A es numerablemente generada, entonces todas esas topologías coinciden
con la máxima topología vectorial localmente convexa τ LC max en A y A, τ max
LC
es entonces un álgebra topológica y, por lo antes dicho, de Hausdorff y
completa. Con un ejemplo que aparece en el artículo de Müller se hace ver
que si se acepta el axioma del continuo, entonces no es posible mejorar el
último de tales resultados, pues en él se construye un álgebra con un sistema
de generadores de cardinalidad c que no admite una topología que la haga
álgebra topológica.
Para presentar las topologías anteriores se estudian los espacios local-
mente pseudoconvexos, los cuales fueron introducidos por S. Rolewicz [15].
ix
, x Preface
No nos limitamos a estudiarlos vía las pseudoseminormas sino que también
lo hacemos a través de los conjuntos pseudoconvexos.
Dentro de las álgebras topológicas localmente convexas destacan las lo-
calmente m−convexas, las cuales se caracterizan porque sus topologías están
dadas por seminormas submultiplicativas. Dichas álgebras se asemejan, en
cuanto a sus propiedades, a las álgebras normadas. En tanto que en el
ámbito de las álgebras semitopológicas locamente convexas destacan las lo-
calmente A−convexas. Toda álgebra localmente m−convexa es localmente
A−convexa, pero el resultado inverso es falso.
En [14], Oudadess mostró que toda álgebra localmente A−convexa ad-
mite una topología más fuerte que la hace m−convexa. En dicho trabajo se
afirmaba también que la topología por él construida es la mínima con tales
dos propiedades, pero hay un error en su argumentación. Sin embargo, por
varios años se dio por bueno el resultado A la mínima topología m−convexa
más fuerte que la topología de un álgebra localmente A−convexa se le llama
de Oudadess y con base en su existencia fueron enunciados y probados di-
versos resultados.
En esta tesis también se estudia esa topología. En este aspecto, otro de
sus fundamentos es el artículo de L. Oubbi, The weakest m-convex topology
stronger than an A-convex topology need not exist, donde como su título
indica se muestra que es falso que siempre exista la topología de Oudadess.
Además de presentar un ejemplo respecto a esa inexistencia se dan otros
contraejemplos, todos ellos construidos por Oubbi, a afirmaciones hechas o
dadas a entender por él mismo en su artículo [13].
Finalmente, se dan dos condiciones suficientes para la existencia de la
topología de Oudadess, que hasta donde sabemos son originales y que forman
parte de la versión preliminar de un artículo del que el autor de esta tesis
es coautor. Con base en ellas se prueba que las topologías de Oudadess
de varias álgebras localmente A−convexas es efectivamente la dada en [14].
Esto ya se había hecho, pero dando por garantizada su existencia.
Para todo lo anterior se dividió el trabajo en tres capítulos, cuyos con-
tenidos se describen a continuación.
En el Capítulo 1 se introducen los conceptos fundamentales y nociones
básicas de topología necesarios para el estudio de espacios vectoriales topológi-
cos. Como estos son presentados a partir de sus sistemas fundamentales de
vecindades del 0, la noción de espacio topológico también se presenta a través
de sistemas locales de vecindades.
Se dan algunas propiedades de los operadores lineales continuos sobre
espacios vectoriales topológicos y normados. Se prueba que todo espacio de
dimensión finita tiene una única topología vectorial de Hausdorff. Al final
