Una guía simple para el filtro de Kalman usando MATLAB
Autor:
Manuel Escobar
, Departamento de Economía Universidad de Chile
I ¿Qué puedas esperar de esta guía?
Tras revisar detenidamente este documento, tendrás una idea bastante acabada de como estimar una variable
no observable en un modelo de estado-espacio. Para esto, se proveen códigos de MATLAB que pueden ser
utilizados de forma general.
La guía requiere tener un conocimiento básico de álgebra matricial, modelos de series de tiempo y programación
en MATLAB. En caso de no tenerlos, no dudes en consultar mis otros apuntes simplificados.
II La representación de estado espacio
Definimos un modelo estado espacio cuando toma la siguiente forma:
yt = Ht zt + Gxt + vt vt ∼ N (0, R) (1)
zt = Bzt−1 + F xt−1 + wt wt ∼ N (0, Q) (2)
Donde yt es un vector de variables observables que se puede explicar por un vector de variables no observables
(zt ) y variables exógenas (xt ), esta relación está explicitada en (1). En cuanto al vector de no observables,
asumimos que conocemos su cambio en el tiempo (2) en función de si mismo pero en el período pasado y de las
variables exógenas. Cada una de las ecuaciones cuenta con un vector de perturbaciones de media 0 y varianza
fija. El ejemplo 1 provee una ilustración de como armar la representación de estado espacio.
Ejemplo 1: Representación Estado-Espacio
Para ejemplificar la representación de estado espacio, consideremos un modelo para estimar el producto interno
bruto potencial y la tasa de interés neutral de la forma:
y˜t = α1 yt−1 ˜ + εyt
˜ + β1 rt−1
πt = ˜ + επt
γ1 πt−1 + ψ1 yt−1
rt∗ = cgt + zt
(3)
yt∗ = ∗
yt−1 + gt−1 + wt2
gt = gt−1 + wt3
zt = ζ1 zt−1 + wt1
Donde y˜t es la brecha del producto que es igual a yt − yt∗ con yt∗ el logaritmo del producto potencial. Así,
r˜t = (rt − rt∗ ) con rt∗ la tasa de interés neutral.
Los observables en este modelo son yt , rt y πt , en orden: el logaritmo del producto interno bruto, la tasa de
interés de política monetaria y la tasa de inflación, todo en frecuencia trimestral. El resto de ecuaciones definen
el movimiento de los no observables y sus perturbaciones.
Los no observables de este modelo son yt∗ , rt∗ y gt , en orden: el logaritmo del producto interno potencial, la
tasa de interés neutral y el crecimiento del producto potencial.
Las perturbaciones de este modelo provienen de εy , επ , wt1 , wt2 y wt3 .
Para hacer la representación estado-espacio, reemplazamos rt∗ en y˜t y agregando las identidades yt−1
∗ =
∗
yt−1 /gt−1 = gt−1 es posible concentrar la dinámica del conjunto de ecuaciones (3) en:
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Autor:
Manuel Escobar
, Departamento de Economía Universidad de Chile
I ¿Qué puedas esperar de esta guía?
Tras revisar detenidamente este documento, tendrás una idea bastante acabada de como estimar una variable
no observable en un modelo de estado-espacio. Para esto, se proveen códigos de MATLAB que pueden ser
utilizados de forma general.
La guía requiere tener un conocimiento básico de álgebra matricial, modelos de series de tiempo y programación
en MATLAB. En caso de no tenerlos, no dudes en consultar mis otros apuntes simplificados.
II La representación de estado espacio
Definimos un modelo estado espacio cuando toma la siguiente forma:
yt = Ht zt + Gxt + vt vt ∼ N (0, R) (1)
zt = Bzt−1 + F xt−1 + wt wt ∼ N (0, Q) (2)
Donde yt es un vector de variables observables que se puede explicar por un vector de variables no observables
(zt ) y variables exógenas (xt ), esta relación está explicitada en (1). En cuanto al vector de no observables,
asumimos que conocemos su cambio en el tiempo (2) en función de si mismo pero en el período pasado y de las
variables exógenas. Cada una de las ecuaciones cuenta con un vector de perturbaciones de media 0 y varianza
fija. El ejemplo 1 provee una ilustración de como armar la representación de estado espacio.
Ejemplo 1: Representación Estado-Espacio
Para ejemplificar la representación de estado espacio, consideremos un modelo para estimar el producto interno
bruto potencial y la tasa de interés neutral de la forma:
y˜t = α1 yt−1 ˜ + εyt
˜ + β1 rt−1
πt = ˜ + επt
γ1 πt−1 + ψ1 yt−1
rt∗ = cgt + zt
(3)
yt∗ = ∗
yt−1 + gt−1 + wt2
gt = gt−1 + wt3
zt = ζ1 zt−1 + wt1
Donde y˜t es la brecha del producto que es igual a yt − yt∗ con yt∗ el logaritmo del producto potencial. Así,
r˜t = (rt − rt∗ ) con rt∗ la tasa de interés neutral.
Los observables en este modelo son yt , rt y πt , en orden: el logaritmo del producto interno bruto, la tasa de
interés de política monetaria y la tasa de inflación, todo en frecuencia trimestral. El resto de ecuaciones definen
el movimiento de los no observables y sus perturbaciones.
Los no observables de este modelo son yt∗ , rt∗ y gt , en orden: el logaritmo del producto interno potencial, la
tasa de interés neutral y el crecimiento del producto potencial.
Las perturbaciones de este modelo provienen de εy , επ , wt1 , wt2 y wt3 .
Para hacer la representación estado-espacio, reemplazamos rt∗ en y˜t y agregando las identidades yt−1
∗ =
∗
yt−1 /gt−1 = gt−1 es posible concentrar la dinámica del conjunto de ecuaciones (3) en:
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