Este es un apunte teórico practico sobre el teorema de Gauss para hallar las raíces de polinomios de grado mayor o igual a 3. La aplicación del teorema es para polinomios con coeficientes enteros y para hallar sus raíces racionales. Figuran en el articulo, un ejemplo guiado y ejercitación adi...
En el siguiente apunte vamos a hablar de las
funciones polinomicas y cortes con el eje x.
Para poder calcular las raices de un polinomio
de grado mayor o igual a 3, generalmente vamos
a necesitar nuevas herramientas matemáticas.
Una de ellas es el Teorema de Gauss, que nos
da una pista para poder hallar las raices o cortes
con el eje x de nuestra función.
Veamos de qué se trata. Antes de empezar,
te pido que completes los siguientes espacios:
Leer y completar los espacios
Raices de un
Consideremos el siguiente polinomio
𝑃(𝑥) = 27𝑥 3 + 3𝑥 − 10, que tiene todos sus
coeficientes enteros.
polinomio con
2
Calculemos 𝑃 (3) =__________________
2
coeficientes
Como 𝑃 (3) =______, resulta que x=2/3 es el corte
con el eje x de P(x). enteros
Prestemos atención que este número (2/3) cumple con
las siguientes condiciones:
• El numerador 2 divide al coeficiente
independiente -10
Podemos notar que existe una
• El denominador 3 divide al coeficiente
relacion entre la raiz de un
principal 27 polinomio y los terminos
independiente y principal
, Ejemplo
Hallar cortes con eje x del
polinomio
𝑷(𝒙) = 𝟐𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏
• Verificamos que todos los coeficientes de
P(x) son enteros ya que los números: ……,
………. Y ……… pertenecen a Z
• Hallamos los divisores p del termino
independiente, ellos son:…………..
• Hallamos los divisores q del coeficiente
principal, ellos son……………..
• Formamos todas las fracciones irreducibles
de la forma p/q=………………; ………….;
Entonces para hallar las raices ……………….. de …………..y………….. .
un polinomio con • Evaluamos el Polinimoio en cada una de las
coeficientes…………………….., debemos seguir cuatro fracciones del paso anterior:
los siguienes pasos: 𝑃(1) = 𝑃(… . ) =
Teorema de Gauss 𝑃(… . . ) = 𝑃(… . . ) =
• Hallar los divisores p del término
El teorema de Gauss que generaliza esta situacion independiente, y los divisores q del
afirma que : En conclusión, las raices racionales de
coeficiente………………….
nuestro polinomio P(x) son………
• Formar con ellos…………………..
Cuando una fracción irreducible p/q es raiz de un
irreducibles p/q , que serán las
polinomio con coeficientes enteros, el denominador p
posibles raices del polinomio
divide al término independiente y el numerador q
• Especializar o evaluar el polinomio en
divide al coeficiente principal. estas fracciones para ver si alguna
es…………….. de él.
Profesora Mariana Bustamante
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