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Summary (Algrebra)-Complex Numbers
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Complex numbersWe know that the equation 𝑥 2 = 𝑎 is solvable if 𝑎 > 0, and that it has the two solution
𝑥 = ± 𝑎. However, if 𝑎 < 0 then there is no real solution for 𝑥.
Thus mathematicians of the eighteens century introduced the imaginary number 𝑖 wh
assumed had the property 𝑖 2 = −1.
• Numbers of the form 𝒂 + 𝒃𝒊 are called complex numbers. Where 𝒂 and 𝒃 are real n
This can also be denoted by 𝒂, 𝒃 .
• Given 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖. Then the real and imaginary parts of 𝑧 are denoted by 𝑅𝑒 𝑧 = 𝑎
𝐼𝑚 𝑧 = 𝑏.
𝐸. 𝑔. 𝐼𝑓 𝑧 = 3 + 2𝑖. 𝑇ℎ𝑒𝑛 𝑅𝑒 3 + 2𝑖 = 3 𝑎𝑛𝑑 𝐼𝑚 3 + 2𝑖 = 2
• Two complex numbers 𝑎 + 𝑏𝑖 and 𝑐 + 𝑑𝑖 are equal, written 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑐 + 𝑑𝑖 if and
𝑎 = 𝑐 and 𝑏 = 𝑑.
, Complex numbers
Given z = 𝑎 + 𝑏𝑖 ; w = 𝑐 + 𝑑𝑖 and 𝑘 ∈ 𝑹 then:
• 𝑧 + 𝑤 = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑏 + 𝑑 𝑖. (Sum of complex numbers)
• 𝑧 − 𝑤 = 𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 − 𝑐 + 𝑏 − 𝑑 𝑖. (Difference of complex numbers)
Multiplication of a complex number
• 𝑘𝑧 = 𝑘 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑘𝑎 + 𝑘𝑏 𝑖.
• 𝑧𝑤 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 + 𝑏𝑑𝑖 2 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 + 𝑏𝑑 −1 = 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑎𝑑
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