Dadas las masa de los cuerpos m1 y m2 y el coeficiente de 1
rozamiento µ entre m1 y la superficie horizontal, así como la
masa de la polea mp, que puede considerarse como un disco
homogéneo, calcular la aceleración del sistema de la figura. 2
Solución: I.T.I. 01, 04, I.T.T. 04
Vamos a tomar el sentido positivo del movimiento unidimensional del bloque 1 hacia la
derecha. Para el bloque 2 tomamos el sentido positivo de movimiento hacia abajo. Dado
que la cuerda que los une tiene longitud fija las aceleraciones de los dos cuerpos son
iguales a1 = a2 = a . Para la polea tomamos el sentido positivo de giro horario. En la
periferia de la polea la aceleración tangencial también será a con lo que su aceleración
a
angular será: α = , donde R es el radio de la polea. Teniendo en cuenta que la tensión
R
de la cuerda que tira de los cuerpos 1 y 2 es diferente para cada uno de ellos debido a
que la polea posee un momento de inercia (no es una polea ideal sin masa) y dibujando
el diagrama de fuerzas para los dos bloques y para la polea y aplicando la segunda ley
de Newton:
T1
N1 T2
T1
Froz. 1 2 T2
m1 g m2 g ⎛ 1 ⎞ ⎛ a ⎞
T2 R − T1R = Iα = m p R 2
⎝ 2 ⎠ ⎝ R ⎠
T1 − µ m1g = m1a m2 g − T2 = m2 a
1
⇒ T2 − T1 = m p a
2
Tenemos tres ecuaciones con tres incógnitas. La solución es:
⎛ 1 ⎞
m2 (1 + µ) + µ m p
⎜ 2 ⎟
T1 = ⎜ ⎟ m1 g
1
⎜ m1 + m2 + m p ⎟ ⎛ ⎞
⎝ 2 ⎠
⎜ m 2 − µ m1 ⎟
a = ⎜
1 ⎟ g
⎛ 1 ⎞ ⎜ m1 + m2 + mp ⎟
m (1+ µ ) + m p ⎝ 2 ⎠
⎜ 1 2 ⎟ m g
T2 = ⎜ ⎟ 2
1
⎜ m1 + m2 + m p ⎟
⎝ 2 ⎠
Física Tema Página 1
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, Un cilindro homogéneo pesado tiene una masa m y un radio R. Se ve
acelerado por una fuerza T que se aplica mediante una cuerda
arrollada a lo largo de un tambor ligero de radio r unido al cilindro
(ver figura). El coeficiente de rozamiento estático es suficiente para
que el cilindro ruede sin deslizar. a) Hallar la fuerza de rozamiento.
b) Hallar la aceleración del centro del cilindro. c) ¿Es posible escoger r de forma que la
aceleración sea mayor que T/m? ¿Cómo? d) ¿Cuál es el sentido de la fuerza de rozamiento
que aparece en el apartado c)?
Solución: I.T.I. 01, 04, I.T.T. 04
a) y b) Aplicando la segunda ley de Newton para la
traslación y para la rotación. T
T − Froz . = M aC.M . ⎫
⎪ Froz.
⎛ 1 2 ⎞ ⎛ aC .M . ⎞ 1 ⎬ ⇒
T r + Froz.R = Iα = MR = MRaC .M . ⎪
⎝ 2 ⎠ ⎝ R ⎠ 2 ⎭
1 ⎛ 2r⎞ 2 ⎛ r ⎞ T
Froz. = 1− ⎠ T aC.M . = ⎝ 1+ ⎠
3 ⎝ R 3 R M
c) Si la aceleración es mayor que T/M tenemos que.
2 ⎛ r ⎞ R
1 + ≥1 ⇒ r≥
3 ⎝ R ⎠ 2
d) Si sustituimos el resultado anterior en la expresión del módulo de la fuerza de
rozamiento nos sale un valor negativo, lo cual es absurdo. Esto implica que en este
último caso la fuerza de rozamiento no está orientada hacia la izquierda como se
había supuesto en los cálculos iniciales, sino hacia la derecha, en el sentido del
movimiento del cilindro. Es lógico, ya que si queremos que la aceleración sea mayor
que T/M tenemos que tener una fuerza adicional que empuje hacia la derecha
ayudando a la tensión T.
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€
Física Tema Página 2
, En un sistema como el de la figura constituido por un anillo de radio
r1 = 0.1 m y masa m1= 5 kg, un cilindro homogéneo de radio
r2 = 0.15 m y masa m2 = 13 kg y una masa m de 12 kg, soltamos ésta
última desde el reposo y la dejamos descender 6 m. Despreciando el
rozamiento calcular: a) la velocidad final de la masa m, b) su
aceleración, c) las aceleraciones angulares del anillo y del cilindro, d)
la tensión en las cuerdas.
Solución: I.T.I. 04, I.T.T. 01, 04
a) Si tomamos el sentido positivo de movimiento hacia abajo para la masa que cae y
tomamos sentidos positivos de giro horario para el anillo y antihorario para el
cilindro sus velocidades angulares estarán relacionadas con la velocidad de caída del
v v
cuerpo: ω1 = y ω2 = . Tomando como origen de energía potencial gravitatoria
r1 r2
cuando se encuentra m en el punto más bajo y aplicando la conservación de la
energía:
E arriba = mgh ⎫
⎪ E ⇒ …
arriba = E abajo
⎪
⎪
1 2 1 2 1 ⎪
E abajo = mv + I1ω1 + I 2ω 22 ⎬ 2mgh
2 2 2 ⎪ v= = 7.75 m / s
m2
⎪ m + m1 +
1 ⎪ 2
I1 = m1 r12 I2 = m2 r22 ⎪⎭
2
b) En un movimiento uniformemente acelerado tenemos que: v 2 = v 02 + 2ah donde h es
el recorrido realizado por el cuerpo desde la situación inicial. En nuestro caso la
velocidad inicial v0 es nula y por comparación con el resultado anterior:
⎛ ⎞
⎜ mg ⎟ mg
v 2 = 2 ⎜ 1 ⎟ h ⇒ a= m2 = 5.00 m / s2
⎜ m + m1 + m2 ⎟ m + m1 +
⎝ 2 ⎠ 2
c) Para el anillo y el cilindro tenemos:
a a
α1 = = 50.0 rad / s2 α2 = = 33.4 rad / s2
r1 r2
d) Aplicando la segunda ley de Newton a la rotación del anillo y del cilindro
€ Física Tema Página 3
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