Notas de lectura
Cinemática del sólido
- Grado
- Mecánica Clásica
- Institución
- Universidad Politécnica De Madrid
Cinemática del sólido con composición de movimientos además de los campos de velocidades y aceleraciones. Incluye ejemplos.
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,INTERPRETACIÓN DE 1.) COMO CAMBIO DE DOS POSICIONES
✗ 2-2=71
LOS ejes 0×2%2-2 Coinciden con OXIY, -2, así :
M
•
"
ÍIM :
"
Xa Íit YaMj, + Za É,
Ya > Y,
↳ Inicial
+
1-
Xz = X,
El
%
✗
M FF = XIMI, + Y,
"
j,
+ z,
"
E,
py,
↳ Final
•
p
" "
Y, Donde Xi , YIM , -2 se obtienen de G) :
≥
✗µ ✗a "
Y, M = 0112 .
Ya " Y [ rpm ] 0112 [ TIM ] = .
✓ 1- X2
Z, M -22M
X,
T N
Coordenadas de M a los ejes 1 Coordenadas de M a los ejes 1
en la posición final .
en la posición inicial .
MATRIZ DE GIRO : TEOREMA DE EULER
*
Propiedades de la matriz de giro /rotación :
{
En un sólido no cambia la distancia entre sus puntos .
1- Se cumple : QIÍ
"
=
12T " QIÍ .
0112 = I
Tampoco los ángulos entre rectas del sólido .
Sean MYN dos puntos de 0×2%2-2 :
Entonces :
✗ ZÍZZ
M
•
IIÓMHYHÓNII Tienen el mismo valor en
N
•
-
Ángulo entre HÓMIIYIIÓNH cualquier posición del sólido .
>
% % =
O
ÓM ÓN. =
constante para cualquier posición del sólido .
" " "
M
1- Demostración : ri
.
VI =
ti . .
A- →
✗2M
X, X2
[ TI MÍ / FIN]
=
"
-22M£ :(✗a" )
" " " "
/ ✗Mi, + YaMj, + ZAMÉ, ) / ✗Ii, + yávyi + ZANE /
"
.
,
= ×, XAN -1% ya -1 , ya za .
YAM =
-22M
FIN FIN :[ ii.
. MÍ / ti .
.
"
] →
[ ir ] / FIN ] :[ ii. | /iii. /
,
"
.
"
.
N →
[ÍI"]? / FI ] :[ A- "| ? QIÍ Qiz [ FIM/
"
.
.
→
→
QR?
'
12
= I
/i /Á / /FIN] ?
[ ri ] "
= Qia / ÍI .
"
:
"
= QR [ RIM]? I. [ FIN] →
[ ÍIM] / I -
Q,Í Qiz ). .
[ FIN] :O
:
, 2- Se tiene que :/ Qiz / = 1
Ia 1-1
-
ja 1-1
.
Éa -1, .
Qiz Ia 1-1 ja j, Ea j 1-1 11-1 ÍK ) = 1
Componentes de 1-1 É, la base { ir ja KÍE
según
= →
j,
: - . .
-
, , ,
¡2. Í , ja -
É, Ez É,
.
3- Autovalores de Qiz :
3 reales → 3 autovectores
Qiz es una matriz cuadrada > Puedo calcular sus autovalores →
Hay 3 autovalores
-
Un par de complejos -
* Características de los autovalores : conjugados Y un real .
•
Si XR es un autovalor real , entonces IXRI = 1 " Es decir AR = 1 ÓIR = -1
Demostración :
J :
cualquier vector
"
0112 -
[ JJ : Transformado de ti en el cambio de
✗ -22=2 ,
M
posición
•
¡
-
.
J
>
E- % Los módulos no cambian en el cambio de posición ' 11012 TI/ IIÑH
- =
O
1-
✗z = X,
Sea ✗ R un autovalor real y ir un autovector asociado a ✗R : ①12 -
Ú = IIRÚ
Se tiene que : 11012 ÚII HÚII .
: ' IHR ñll =/tuit → HRIHÚII = llñll '
1hr 1=1
/ tí : conjugado complejo
*
•
si ti y ✗ < de ti ) son una pareja de autovalores complejos conjugados :
Util/ =/ HE 11-1 .
.
El autovalor restante es real Y vale 1 .
i
Demostración : 11h11 ? / HE /12
1
Se tiene :/ Q 12 / = producto de sus autovalores s1://c.to#.tR
↳ vale 1- Ó -1
Para cumplirse lo anterior AR debe ser 1 .
→ 1- = dc.de#.1 → de te# 1
-
= '
ll ti 11=11×1*11--1
#
Es decir ti Y te son de la forma :
"
"
de =
e = cosa + isent
(i IR)
-
: -1 ,
✗ C-
YE Éi ? =
cosa -
isen a
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