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Resolución de ejercicios y apuntes de TOM APOSTOL, cálculo Vol I. Introducción.
Apuntes y resolución de ejercicios del capítulo introductorio del libro de Tom Apostol, Cálculo volumen I.
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IntroducciónTom Apostol. Cálculo Vol. I
1.3 El método de exhaución para el área de un segmento de parábola
El método consiste simplemente en lo siguiente: se divide la figura en un cierto número de bandas y se
obtienen dos aproximaciones de la región, una por defecto y otra por exceso, utilizando dos conjuntos
de rectángulos.
Se subdivide la base en n partes iguales, cada una de longitud b/n. Los puntos de subdivisión corre-
sponden a los siguientes valores de x:
b 2b 3b (n − 1)b nb
0, , , , ..., , =b
n n n n n
La expresión general de un punto de la subdivisión es x = kb n , donde k toma los valores sucesivos
kb
k = 0, 01, 2, 3, ..., n. En cada punto n se construye el rectángulo exterior de altura (kb/n)2 . El área de este
rectángulo es el producto de la base por la altura y es igual a:
2
b kb b3
= k3
n n 3
Si se designa por Sn la suma de las áreas de todos os rectángulos exteriores, puesto que el área del
rectángulo k-simo es (b3 /n3 )k3 se tiene la formula.
b3 2
Sn = (1 + 22 + 32 + ... + n2 ) (1)
n3
De forma análoga se obtiene la fórmula para la suma sn de todos los rectángulos interiores:
b3 2
sn = [1 + 22 + 32 + ... + (n − 1)2 ] (2)
n3
Luego se tiene la identidad
n3 n2 6
12 + 22 + 32 + ... + n2 = + + (3)
3 2 n
Como también
n2 n2 n
12 + 22 + ... + (n − 1)2 = − + (4)
3 2 6
Las expresiones exactas dadas no son necesarias para el objeto que aquí se persigue, pero sirven para
deducir fácilmente las dos desigualdades que interesan
n3
12 + 22 + 32 + ... + (n − 1)2 < < 12 + 22 + ... + n2
3
1
,2
que son válidas para todo entero n ≥ 1. Multiplicando ambas desigualdades por b3 /n3 y haciendo uso
de (1) y (2) se tiene:
b3
sn < < Sn
3
Probemos que b3 /3 es el único número que goza de esta propiedad, es decir, que si A es un número que
verifica las desigualdades
s n < A < Sn (7)
para cada entero positivo n, ha de ser necesariamente A = b3 /3. Por esta razón dedujo Arquímedes que
el área del segmento parabólico es b3 /3.
Para probar que A = b3 /3 se utilizan una vez más las desigualdades (5). Sumando n2 a los dos miembros
de la desigualdad de la izquierda en (5) se obtiene
n3
12 + 22 + 32 + ... + n2 = + n2
3
Multiplicando por b3 /3 y utilizando (1) se tiene
b3 b3
Sn < + (8)
3 n
Análogamente, restando n2 de los dos miembros de la desigualdad de la derecha en (5) y multiplicando
por b3 /n3 se llega a la desigualdad:
b3 b3
− < sn (9)
3 n
Por tanto,cada número A que satisfaga (7) ha de satisfacer también:
b3 b3 b3 b3
− <A< + (10)
3 n 3 n
para cada entero n ≥ 1. Ahora también, hay sólo tres posibilidad:
b3 b3 b3
A> , A< A=
3 3 3
3
Si se prueba que las dos primeras conducen a una contradicción habrá de ser A = b3
Supongamos que la desigualdad A > b3 /3 fuera cierta. De la segunda desigualdad en (10) se obtiene
b3 b3
A− < (11)
3 n
para cada entero n ≥ 1. Puesto que A − b3 /3 es positivo, se puede dividir ambos miembros de (11) por
A − b3 /3 y multiplicando después por n se obtiene la desigualdad
b3
n<
A − b3 /3
para cada n. Pero esta desigualdad es evidentemente para n > b3 /( A − b3 /3). Por tanto la desigual-
dad es una contradicción. De forma análoga se demuestra para A < b3 /3 de donde concluimos que
A = b3 /3.
, 3.2. AXIOMAS DE CUERPO 3
3.2 Axiomas de cuerpo
Axioma Propiedad conmutativa. x + y = y + x, xy = yx.
.1
Axioma Propiedad asociativa. x + (y + z) = ( x + y) + z, x (yz) = ( xy)z.
.2
Axioma Propiedad distributiva. x (y + z) = xy + xz.
.3
Axioma Existencia de elementos neutros. Existen dos números reales distintos que se indican por 0 y 1 tales que
.4 para cada número real x se tiene: 0 + x = x + 0 = x y 1 · x = x · 1 = 1.
Axioma Existencia de negativos. Para cada número real x existe un número real y tal que x + y = y + x = 0.
.5
Axioma Existencia del recíproco. Para cada número real x ̸= 0 existe un número real y tal que xy = yx = 1.
.6
Teorema Ley de simplificación para la suma. Si a + b = a + c entonces b = c (En particular esto prueba que el número
3.1 0 del axioma 4 es único)
Demostración.- Dado a+b=a+c. En virtud de la existencia de negativos, se puede elegir y de man-
era que y + a = 0, con lo cual y + ( a + b) = y + ( a + c) y aplicando la propiedad asociativa tenemos
(y + a) + b = (y + a) + c entonces, 0 + b = 0 + c. En virtud de la existencia de elementos neutros, se
tiene b = c.
por otro lado este teorema demuestra que existe un solo número real que tiene la propiedad del 0 en el
′ ′
axioma 4. En efecto, si 0 y 0 tuvieran ambos esta propiedad, entonces 0 + 0 = 0 y 0 + 0 = 0; por lo
′
tanto, 0 + 0 = 0 + 0 y por la ley de simplificación para la suma 0 = 0′ . ■
Teorema Posibilidad de la sustracción. Dado a y b existe uno y sólo un x tal que a + x = b. Este x se designa por
3.2 b − a. En particular 0 − a se escribe simplemente − a y se denomina el negativo de a.
Demostración.- Dados a y b por el axioma 5 se tiene y de manera que a + y = 0 ó y = − a, por hipótesis
y teorema tenemos que x = b − a sustituyendo y tenemos x = b + y y propiedad conmutativa x = y + b,
entonces a + x = a + (y + b) = ( a + y) + b = 0 + b = b esto por sustitución, propiedad asociativa y
propiedad de neutro, Por lo tanto hay por lo menos un x tal que a + x = b. Pero en virtud del teorema
1.1, hay a lo sumo una. Luego hay una y sólo una x en estas condiciones. ■
, 4
Teorema b − a = b + (− a)
3.3
Demostración.- Sea x = b − a y sea y = b + (− a). Se probará que x = y. por definición de b − a,
x + a = b y y + a = [b + (− a)] + a = b + [(− a) + a] = b + 0 = b, por lo tanto, x + a = y + a y en virtud
de teorema 1.1 x = y. ■
Teorema −(− a) = a
3.4
Demostración.- Se tiene a + (− a) = 0 por definición de − a incluido en el teorema 1.1. Pero esta igualdad
dice que a es el opuesto de − a, es decir, que si a + (− a) = 0 entonces a = 0 − (− a) = a = −(− a). ■
3.3 Ejercicios
1. Demostrar los teoremas del 1.5 al 1.15, utilizando los axiomas 1 al 6 y los teoremas I.1 al I.4
Teorema a(b − c) = ab − ac
3.5
Demostración.- Sea a(b − c) por teorema tenemos que a [b + (−c)] y por la propiedad distributiva
[ ab + a(−c)], y en virtud de anteriores teoremas nos queda ab − ac. ■
Teorema 0 · a = a · 0 = 0
3.6
Demostración.- Sea 0 · a por la propiedad conmutativa a · 0, a · 0 + 0 y a · 0 + [ a + (− a)] y en virtud la
propiedad asociativa y distributiva a(0 + 1) + (− a) después 1( a) + (− a), luego por elemento neutro
y existencia de negativos tenemos 0, Así queda demostrado que cualquier número multiplicado por
cero es cero. ■
Teorema Ley de simplificación para la multiplicación. Si ab = ac y a ̸= 0, entonces b = c. (En particular esto
3.7 demuestra que el número 1 del axioma 4 es único)
′
Demostración.-
h ′ i Sea b, a ̸= 0, y por el existencia del recíproco tenemos a · a = 1 luego, b = b · 1 =
′ ′ ′
b a( a ) = ( ab)( a ) = ( ac)( a ) = c( a · a ) = c · 1 = c por lo tanto queda demostrado la ley de
simplificación. ■
Teorema Posibilidad de la división. Dados a y b con a ̸= 0, existe uno y sólo un x tal que ax = b. La x se designa
3.8 b
por b/a ó y se denomina cociente de b y a. En particular 1/a se escribe también a−1 y se designa
a
recíproco de a
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