Resumen

Sumario Metodo Practico para Analizar la Derivada de una funcion con derivadas laterales.

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Grado
Calculo de una Variable

Institución
Universidad San Ignacio De Loyola

Un resumen con ejercicios resueltos del Metodo Practico para Analizar la Derivada de una funcion con derivada laterales.

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Subido en 9 de mayo de 2023
Número de páginas 14
Escrito en 2022/2023
Tipo Resumen

calculo
real
variable
ejercicios
resueltos
metodo
practico
analizar
derivada
funcion
laterales

Institución
Universidad San Ignacio De Loyola
Grado
Calculo de una Variable

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Método práctico para analizar 𝑓′(𝑎) con derivadas laterales:

𝑔(𝑥) ,𝑥 <𝑎
Dada ƒ( 𝑥) = {ℎ(𝑥) ,𝑥 ≥𝑎
Existe la derivada de ƒ en el punto 𝑥 = 𝑎, si se cumplen las siguientes condiciones:

 ƒ es continua en 𝑥 = 𝑎.
′ ′ ′ ′
 Las derivadas laterales ƒ (𝑎) = ƒ (𝑎) , done: ƒ (𝑎) = 𝑔′(𝑎) , ƒ (𝑎) = ℎ′(𝑎)
− + − +

Ejemplo 1

Dada ƒ 2
3𝑥 + 1
(𝑥) = { + 5𝑥
𝑥 ,𝑥 < 1
,𝑥 ≥1 . Calcule ƒ
′
(1) , si existe.
Resolución.

 ƒ es continua en 𝑥 = 1.

 ƒ′−(1) = (𝑥2 + 3𝑥 + 1)′|𝑥=1 = (2𝑥 + 3)|𝑥=1 = 5

 ƒ′+(1) = (5𝑥)′|𝑥=1 = (5)|𝑥=1 = 5

Por lo tanto ƒ′(1) = 5.

, Ejemplo 2

Dada ƒ 𝑥2 + 2 ,𝑥 ≤ 4
(𝑥) = { . Calcule ƒ′(4) (si existe).
2
𝑥 −1 ,𝑥 > 4
Resolución.

Claramente 𝑓 no es continua en 𝗑 = 4, luego NO existe 𝑓′(4).

Nota de ERROR DE SOLUCIÓN.

Si un alumno analiza la derivada ƒ′(4) con las derivadas laterales empleadas en el método práctico, va
obtener que ellas son iguales a 8 y por lo tanto concluye que Existe ƒ′(4) = 8

Ejemplo
3𝑥 + 1
ƒ(𝑥) = {𝑥2 + 1 , 𝑥>0
5𝑥 + 1 , 𝑥≤0
Calcule ƒ′(0) (en caso exista)

Resolución

 ƒ es continua en 𝑥 = 0.
 Estudiemos las derivadas laterales (usando el método práctico)
 ƒ′(0) = 5 ; ƒ′(0) = 3 (son diferentes)
− +

No existe la derivada en 𝑥 = 0.

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