Estos apuntes te abrirán las puertas a un universo de lógica, precisión y belleza abstracta. Prepárate para desafiar tu mente y sumergirte en un océano de números, patrones y ecuaciones que revelan las leyes fundamentales
EBAU 2022 junio Matemáticas II en Castilla-León Juan Antonio Martínez García
Pruebas de acceso a enseñanzas EJERCICIO
universitarias oficiales de grado MATEMÁTICAS II
Castilla y León Nº Páginas: 2
INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger libremente cinco ejercicios
completos de los diez propuestos. Se expresará claramente cuáles son los elegidos. Si se
resolvieran más, sólo se corregirán los 5 primeros que estén resueltos (según el orden de
numeración de pliegos y hojas de cada pliego) y que no aparezcan totalmente tachados.
2.- CALCULADORA: Podrán usarse calculadoras no programables, que no admitan memoria para
texto, ni para resolución de ecuaciones, ni para resolución de integrales, ni para representaciones
gráficas.
CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN: Los 5 ejercicios se puntuarán sobre un máximo
de 2 puntos. Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: correcta utilización de los
conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de
resolver; justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas; claridad y
coherencia en la exposición; precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben figurar
explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación
lógica y los cálculos.
E1.- (Álgebra)
2 x + 2my − z = 0
Dado el sistema: x + 2 y + mz = 0
x − my + mz = 0
a) Discute el sistema según los distintos valores de m. (1 punto)
b) Resuelva el sistema si m = −2. (1 punto)
E2.- (Álgebra)
a a
Dada la matriz A = , calcule el valor de a que hace que:
0 1
0 3
A2 = A−1 + (2 puntos)
0 0
E3.- (Geometría)
x −1 y + 2 z +1
a) Dada la recta r = = y el plano 2 x + y + mz = 0 , calcule m para que la recta y
2 1 4
el plano sean perpendiculares. (1
punto)
b) Calcule el plano perpendicular a los planos x + y + z = 1 y 1 x − y + z = 2 , que pasa por el
punto (1,2,3). (1 punto)
E4.- (Geometría)
Considere el punto P = (2,2,1) y el plano 2 x + 3 y − 3z + 6 = 0 .
a) Halle la recta que pasa por 𝑃 y es perpendicular a 𝜋. (1 punto)
b) Calcule la distancia del punto 𝑄=(2,2,−2) al plano 𝜋. (1 punto)
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E5.- (Análisis)
Dada la función f ( x) = xe x , determínense su dominio de definición, asíntotas, intervalos de crecimiento
y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión. Esbócese
también su gráfica. (2 puntos)
E6.- (Análisis)
Calcule:
ex − x −1
a) lim (1 punto)
x →0 x2
1
xe dx
x
b) (1 punto)
0
E7.- (Análisis)
1
Dadas las curvas de ecuaciones y = 3x , y = x 2 .
3
a) Dibuje las curvas y señale el recinto plano comprendido entre ambas. (1 punto)
b) Calcule el área de dicho recinto. (1 punto)
E8.- (Análisis)
a) Halle el área del recinto del plano limitado por la gráfica de f ( x ) = x3 − 4 x , el eje OX y las rectas
x = 0y x = 2. (1 punto)
xsenx
b) Calcule lim (1 punto)
x →0 2 − 2 cos x
E9- (Probabilidad y estadística)
Una corporación fabrica herramientas de 3 tipos de calidades. Un 10% de calidad Alta; un 70% de
calidad Estándar y un 20% de calidad Baja. Se sabe que son defectuosas el 1%; el 10% y el 30% del
total de las herramientas respectivamente.
a) Se elige una herramienta al azar. Definiendo correctamente los sucesos que intervienen, calcúlese la
probabilidad de que sea defectuosa. (1 punto)
b) Se elige una herramienta que resulta ser defectuosa. Definiendo correctamente los sucesos que
intervienen, calcúlese la probabilidad de que la elegida sea de calidad estándar. (1 punto)
E10.- (Probabilidad y estadística)
El tiempo que transcurre hasta la primera avería de una unidad de cierta marca de impresoras viene
dado, aproximadamente, por una distribución normal con un promedio de 1500 horas y una desviación
típica de 200 horas.
a) ¿Qué porcentaje de impresoras fallarán antes de 1000 horas de funcionamiento? (1 punto)
b) Si compramos 500 impresoras ¿Cuántas de esas impresoras tendrán la primera avería entre las 1000
y 2000 horas de uso? (1 punto)
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SOLUCIONES
E1.- (Álgebra)
2 x + 2my − z = 0
Dado el sistema: x + 2 y + mz = 0
x − my + mz = 0
a) Discute el sistema según los distintos valores de m. (1 punto)
b) Resuelva el sistema si m = −2. (1 punto)
2 2m −1
a) La matriz de coeficientes asociada al sistema es A = 1 2 m y la matriz ampliada es
1 −m m
2 2m −1 0
A / B = 1 2 m 0
1 −m m 0
Averiguamos cuando se anula el determinante de A.
2 2m −1
A=1 2 m = 4 m + 2 m 2 + m + 2 − 2 m 2 + 2 m 2 = 2 m 2 + 5m + 2
1 −m m
−5 + 3 1
−5 5 − 4 ( 2 ) 2 −5 3 4
2
= − =m
2
A = 0 2 m + 5m + 2 = 0 m =
2
= =
2 ( 2) 4 −5 − 3 = −2 = m
4
Nos planteamos tres situaciones diferentes que estudiamos por separado.
1
CASO 1. m − y m −2 .
2
En este caso el determinante de A es no nulo y su rango es 3, al igual que el de A/B y el
número de incógnitas. El sistema es compatible determinado (una única solución).
1
CASO 2. m = −
2
El determinante de A es nulo y su rango no es 3.
Estudiamos su rango utilizando el método de Gauss.
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