Resumen
Sumario Breve resumen sobre geometría fractal
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un breve resumen sobre los conceptos básicos para una introducción fácil a la geometría fractal y a al belleza que esta representa en las matemáticas.
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Seminario Páginas 1–22022
Geometria Fractal
Herson Suárez
Seminario
Universidad Industrial de Santander
Diciembre, 2022
Palabras clave: Fractal, Funcion, Curva, Conjunto
ÍNDICE Una propiedad interesante de esta función es su condición fractal. Si bien
su gráfico no es rigurosamente auto semejante, la dimensión del mis-
Índice 1 mo gráfico no es uno ni dos. De hecho la dimensión de Hausdorff está
acotada inferiormente por:
1. Introducción 1
log(a)
2. Función de Weierstrass 1 log(b) + 1
3. Fractales 1 y se cree que ese sea su valor.
3.1. Curva de Koch y la longitud infinita . . . . . . . . . . . 1
3.2. Carpeta de Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.3. Menger y el cubo (Esponja de Menger) . . . . . . . . . 2 3. FRACTALES
Definición: Un fractal es una figura geométrica auto semejante con
4. Conjuntos de Julia y Mandelbrot 2 área finita, pero perı́metro infinito. Es un objeto cuya estructura se repite
a diferentes escalas, si nos acercamos o alejamos del objeto siempre ob-
5. Conclusiones 2
servaremos la misma estructura.
Referencias 2
En la naturaleza encontramos muchos objetos que, debido a su estruc-
tura, son fractales naturales, que comúnmente no los reconocemos. Las
nubes, las montañas, los árboles y los rı́os son fractales naturales, aunque
1. INTRODUCCIÓN finitos, por lo tanto, no ideales.
Muchos fractales son objetos cuya estructura se repite a diferentes
escalas, es decir, tienen la propiedad de la autosimilitud. Una figura 3.1. Curva de Koch y la longitud infinita
geométrica es autosimilar si, al observar una de sus partes con una lupa,
En 1904 el suizo Helge von Koch produjo la siguiente curva, cuya
reconocemos la forma de la figura completa. Sin embargo, hay objetos
regla de construcción se muestra en la figura de la parte inferior: dado
fractales que no tienen autosimilitud y, por tanto, es necesario utilizar el
un segmento se divide este en tres de igual longitud y se sustituye el del
término ”dimensión”. Si una lı́nea recta tiene dimensión uno y un plano
centro por otros iguales que él colocados en forma de ángulo. La curva de
tiene dimensión dos, los fractales se comportan de forma diferente: son
Koch es el resultado de llevar el proceso al lı́mite, y uno de los ejemplos
más que lı́neas y al mismo tiempo menos que planos. Por eso decimos
más conocidos de atractores de IFS.
que su dimensión es fractal o no entera.
2. FUNCIÓN DE WEIERSTRASS
La función de Weierstrass es una función definida por el matemáti-
co Karl Weierstrass. Está definida en la recta y toma valores reales. Es
una función continua en todo punto y no es derivable o diferenciable en
ninguno. La función de Weierstrass fue la primera conocida con esta pro-
piedad. De este modo, Weierstrass mostró que era falsa la conjetura que
circulaba en aquella época que afirmaba que las funciones continuas eran Figura 1: Construcción de la curva de Koch
diferenciables salvo en puntos aislados. La función, tal como la definió
La curva de Koch tiene las siguientes propiedades:
Weierstrass, es la siguiente:
∞
X Tiene una longitud infinita porque a cada paso hay cuatro veces más
f (x) = an cos(bn πx) segmentos que en la anterior, y la longitud de cada uno es una tercera
n=0 parte del segmento anterior.
Ln(4)
donde 0 < a < 1, b es un entero impar y positivo y cumplen que La dimensión fractal es D = = 1,26 mayor que la dimen-
Ln(3)
3 sión de una recta (1) y menor que la dimensión que llena el plano
ab > 1 + π (2).
2
Submitted to the University of Birmingham 1
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