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Resumen para estudiantes de primero de bachillerato con todos los temas.
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GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO, V2Vector fijo segmento orientado en el plano.
Se nota por ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 o por 𝑣, donde el punto A es el origen y el B el extremo.
Módulo o longitud del vector |𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ |
⃗ : dirección de la recta que lo contiene. 2 vectores paralelos tienen la misma dirección.
Dirección de 𝒗
⃗ : la orientación de la flecha.
Sentido de 𝒗
Vectores equipolentes dos vectores 𝒗
⃗ son equipolentes si tienen el mismo módulo, dirección y sentido.
Vector libre es el representante de un vector fijo y todos sus equipolentes.
El plano V2 es el conjunto de todos los vectores libres.
⃗ (5,2)
𝑢
𝑣(−1, −4)
⃗⃗ (−3,3)
𝑤
Base canónica u ortonormal del plano 2 vectores independientes, ortogonales y unitarios que me
generarán todo el plano.
𝐵 = {(1,0), (0,1)} = {𝑢 𝑢2 , }
⃗⃗⃗⃗1 , ⃗⃗⃗⃗⃗
siendo ⃗⃗⃗⃗ 𝑢2 perpendiculares entre sí y |𝑢
𝑢1 ⊥ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗1 | = |𝑢
⃗⃗⃗⃗2 | = 1 unitarios.
Cualquier vector del plano es combinación lineal de ellos.
CÁLCULO DE COORDENADAS, MÓDULO Y ARGUMENTO DEL VECTOR
Las coordenadas cartesianas de un vector 𝑣, son los coeficientes de los vectores de la base canónica
que generan a 𝑣, es decir:
𝑣 = 𝑎1 ⃗⃗⃗⃗
𝑢1 + 𝑎2 ⃗⃗⃗⃗
𝑢2 𝑣 = (𝑎1 , 𝑎2 )
a1, a2: coordenadas cartesianas
Módulo: |𝑣| = √𝑎12 + 𝑎22
𝑎
Argumento: arg(𝑣) = 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑎2 )
1
COORDENADAS DEL VECTOR DEFINIDAS POR DOS PUNTOS
Sean 𝐴(𝑎1 , 𝑎2 ) y 𝐵(𝑏1 , 𝑏2 ), el vector 𝑢
⃗ que determina estos puntos, si A es el origen del vector y B es el
extremo, será:
𝑢
⃗ = (𝑏1 − 𝑎1 , 𝑏2 − 𝑎2 )
Ej. 𝐴(2,4) 𝐵(5, −3)
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = (5 − 2, −3 − 4) = (3, −7)
⃗ | = √(𝑏1 − 𝑎1 )2 + (𝑏2 − 𝑎2 )2
Módulo de |𝑢
, OPERACIONES CON VECTORES
Suma de vectores libres:
⃗ = (𝑢1 , 𝑢2 ) y 𝑣 = (𝑣1 , 𝑣2 ) 𝑢
Sean 𝑢 ⃗ + 𝑣 = (𝑢1 + 𝑣1 , 𝑢2 + 𝑣2 )
Producto de un número real por un vector:
Sean 𝑡𝜖ℝ, 𝑢 ⃗ = (𝑢1 , 𝑢2 ) 𝑡 𝑢⃗ = (𝑡 𝑢1 , 𝑡 𝑢2 )
Nota:
Si 𝑣 = ⃗0 = (0,0) 𝑡 𝑣 = ⃗0 ∀ 𝑡𝜖 ℝ
Si 𝑣 ≠ 0
𝑠𝑖 𝑡 = 0 𝑡 𝑣 = ⃗0
{ 𝑠𝑖 𝑡 > 0 𝑡 𝑣: 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑣
𝑠𝑖 𝑡 < 0 𝑡 𝑣: 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑣
COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
𝐴(𝑎1 , 𝑎2 ) 𝐴(1,3) B(7,2)
𝐵(𝑏1 , 𝑏2 ) 7+1 3+2
𝑃𝑀 ( , )
𝑃𝑀(𝑥, 𝑦) 2 2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥 − 𝑎1 , 𝑦 − 𝑎2 ) 5
𝐴𝑃𝑀 𝑃𝑀 (4 , )
2
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴
𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ + 2 𝐴𝑃𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎1 +𝑏1
𝑥= 2
Sustituir las coordenadas y despejar x e y: (𝑏1 , 𝑏2 ) = (𝑎1 , 𝑎2 ) + 2(𝑥 − 𝑎1 , 𝑦 − 𝑎2 ) 𝑎2 +𝑏2
𝑦= 2
𝑎 +𝑏 𝑎 +𝑏
𝑃𝑀 ( 1 1 , 2 2 )
2 2
COMBINACIÓN LINEAL. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
Un vector 𝑣 es combinación lineal de dos vectores 𝑎 y 𝑏⃗, si existen números reales x e y, tales que:
𝑣 = 𝑥 ⋅ 𝑎 + 𝑦 ∙ 𝑏⃗
Dos vectores son linealmente dependientes si uno se obtiene multiplicando por un nº el otro, es
decir: 𝑢
⃗ 𝑦 𝑣 𝑠𝑜𝑛 𝑙. 𝑑. ⇔ 𝑢 ⃗ =𝜆𝑣 𝜆𝜖ℝ (geométricamente son paralelos)
Dos vectores son linealmente independientes cuando sus coordenadas no son proporcionales.
PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES
⃗ ∙ 𝑣 = |𝑢
𝑢 ⃗⃗⃗̂𝑣 )
⃗ | ∙ |𝑣| ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝑢,
Propiedades:
1. 𝑢
⃗ ∙𝑢 ⃗ = |𝑢⃗ | ∙ |𝑢
⃗ | ∙ 𝑐𝑜𝑠0° = |𝑢 ⃗ |2
2. 𝑢
⃗ ∙𝑣 =𝑣∙𝑢 ⃗ es conmutativo
3. 𝑣 (𝑢 ⃗ +𝑤⃗⃗ ) = 𝑣 ∙ 𝑢 ⃗ +𝑣∙𝑤 ⃗⃗ distributivo respecto a la suma vectorial
4. (𝑡 𝑣) ∙ 𝑤
⃗⃗ = 𝑣 ∙ (𝑡 𝑤 ⃗⃗ ) = 𝑡 (𝑣 ∙ 𝑤 ⃗⃗ ) 𝑡∈ℝ
5. 𝑢
⃗ ⊥𝑣 ⇔ 𝑢 ⃗ ∙ 𝑣 = 0 ni 𝑢⃗, 𝑣 ≠ 0 (porque 𝑐𝑜𝑠90° = 0) perpendicularidad u ortogonalidad
⃗ es unitario ⇔ |𝑢
6. 𝑢 ⃗|=1
𝑢⃗ ∙𝑣 =0 𝑢⃗ ⊥𝑣
7. 𝑢
⃗ , 𝑣 ortonormales ⟺ {
|𝑢⃗ | = |𝑣| = 1
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