Problemas explicados con detalle sobre diferentes temas, aplicando ecuaciones diferenciales para su solución. Incluyen diversos temas sobre el cálculo y son explicados paso a paso.
Introducción
Las ecuaciones diferenciales son herramientas matemáticas fundamentales
en numerosas disciplinas científicas y tecnológicas. Estas ecuaciones describen las
relaciones entre una función desconocida y sus derivadas, y su resolución permite
comprender y predecir el comportamiento de sistemas dinámicos.
El presente problemario tiene como objetivo proporcionar una serie de
ejercicios que abarcan diferentes temas vistos durante el curso de ecuaciones
diferenciales, brindando la oportunidad de practicar y afianzar los conocimientos
adquiridos. La importancia de estudiar las ecuaciones diferenciales es necesaria ya
que, en nuestra área, es decir, ingenierías se abarca en distintos temas como lo
son, principalmente, la física se utiliza para describir distintos tipos de movimientos
y acciones.
Para finalizar es importante destacar que estas ecuaciones son
fundamentales en la formulación y análisis de leyes y principios fundamentales que
en este problemario se podrán ver algunas de las ecuaciones que fueron
importantes para plantear una solución.
𝑘: 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑
Procedimiento
𝑑𝑃
= 𝑘𝑃
𝑑𝑡
𝑑𝑃
= 𝑘𝑑𝑡
𝑃
𝑑𝑃
∫ = ∫ 𝑘𝑑𝑡
𝑃
𝑙𝑛𝑃 = 𝑘𝑡 + 𝑐
Aplicamos exponencial de tal manera que queda de la siguiente manera
𝑃 = 𝑒 𝑘𝑡+𝑐
𝑃 = 𝐶𝑒 𝑘𝑡 (1)
Sustituimos en la ecuación restante con 𝑃(0) = 500 para obtener el valor C
𝑃0 = 𝐶𝑒 𝑘(0) = 500
𝐶 = 500
Una vez obtenido el valor de C, lo sustituimos en la ecuación 1
𝑃(𝑡) = 500𝑒 𝑘𝑡 (2)
Tomando en cuenta que en 10 años aumento la población un 15%, se puede sacar
el valor de la constante de proporcionalidad (k)
, 𝑃(10) = 500 + 500(0.15) = 575
𝑃(10) = 500𝑒 𝑘10 = 575
575
𝑒 10𝑘 =
500
𝑒 10𝑘 = 1.15
10𝑘 = 𝑙𝑛1.15
𝑙𝑛1.15
𝑘=
10
𝑘 = 0.014
Sé procede en sustituir el valor de k en la ecuación (2)
𝑃(𝑡) = 500𝑒 0.014𝑡
Respuestas:
Inciso a
𝑃(30) = 500𝑒 0.014(30)
𝑃(30) = 𝟕𝟔𝟎. 𝟗𝟖 = 𝟕𝟔𝟏
Pasados los 30 años la población es de 761 personas
Inciso b
𝑑𝑃
= 𝑘𝑃
𝑑𝑡
𝑑𝑃
= 0.014 ∗ 761
𝑑𝑡
𝑑𝑃
= 𝟏𝟎. 𝟔𝟓𝟒 = 𝟏𝟏
𝑑𝑡
La población está creciendo a una proporción a razón de 11 personas por año
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