Otro

Introducción a la Geometría Algebraica

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Grado
Geometría Algebraica

Institución
Universidad De La Laguna (ULL)

Este trabajo es una introducción a la geometría algebraica tratando conceptos básicos y relacionándolo con conceptos del álgebra conmutativa.

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Subido en 21 de agosto de 2023
Número de páginas 24
Escrito en 2022/2023
Tipo Otro
Personaje Desconocido

geometría algebraica
relaciones
componentes irreducibles
correspondencias
ejemplos
2023
conjuntos algebraicos afines
ideal asociado a un subconjunto de kn
aplicación de la descomposición primaria

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Un poco de geometría
algebraica

, A
menudo se dice que existe un diccionario entre el Algebra
Commutativa y la Geometria algebraica. Este
diccionario se base en la

idea de asocial subconjuntos de pantos de ke ideals de

k2x., Xn3, de forma las afirmaciones haven
..., que que se en una

se traducen en resultados para otros reciprocaments.
y

1. CONJUNTOS ADEBRAICOS AFiNEs

Seau K un
cuerpo ne/ no nulo.
y
Si pix...., n) ERIX,...., Xn] y act, decimos que a es un cer

de n) Sea ahora S=KEX...., xn], llamaremos
plan, p(a)
5i 0.
SFP,
=

...,

algebraico
conjunto afin de k", definido
por S a:

VISI==1ack"/ pla) 0,
=

xpMeSh / Nota: x (xn,...,Xn1)
=

Se cumplen las propiedades signientes:
(a) K" el coninto vacio son conjuntos algebraicos afines.
y p(X
Afirmo que VIo=R2.
"
Vamos a probarlo
""Trivial por definition (VISI k") =

"Sea atk" =
pla) 0= = atV(o)

Afirmo que VIKEX...., xn]) 0. Vamos =

a probarlo
P.R.A. VIK [Xn,..., xn])+0, dear atV/k2x.,..., xn)).
supongamos que es exist

Esto implicaria que plat 0,
=

Xp(MEKTXn,...,Xn]
Pero, existe q(=1EKIX...., xn] y q(a)=1 to, facK" por
# haber
que
supuesto
-

polinomio cte. 1 V (kEXn, ...,Xn]) 4 +

Concluimos que VIKTX, ...,
Xn]) 0=

(b) Si S, S'=
RIA...., n) S =S', entences VIS' VIS) =

y
Definimos VIS)=1 atk"/p(a) 0
=

, p(eS)
VIS" =

3beK"/q(b) 0,Xq(AcS) =

:VIS' VISI? =

SeS
Sea beVIS' =D q(b) 0,
=
Xq(At S
W

-q(b) 0,rq(tS D
-
=
= beV(S)

, (C) Si SEREX,..., xn] y
<S> es el ideal
generado por S, entences

V(S) v(<S) =

Definimos <S =(rst...+ raSn/SieS, riEKExn,..., Xn], neNY
VISI (
=

ack" / p(a) 0,
=

xp(xeS)
(bek"/q(b) 0,Xq(n<Sx)
V(<Sx) =
=

V(S1 =v(<S)
"-"

V(S)
S
=<S(V(< s)
=

"c"

aeVIS) = D pla) 0, XpIneS=<S
=

Sea q(x-<Sc D
=

q(M ri
=

+...+
ES rnInS q(a) rilalal?...+rnials, FaeUlS)
=

=> atV(S)

Como consecuencia, ECK" es un
conjunto algebraico atin si, y
solo si, E=V(I), donde I es un ideal dil avillo de
policomics
kIA...., Xn] y se complex has
propiedades:
(d) Si Inletes una familia arbitraria de ideates de KIxn,..., n3,

entonces:

SV(In) V(Y 22) V(2n)
= =

Y por to tanto, la intersection arbitraria de
conjuntos algebraicos
afines, as tambien un atin.
conjunto
⑮
-

3 V122) V)kIel? =

Sea (VIIa
at =D
pulal 0,
=
Xprklehn, XR x
=

p(a) 0,
=

XpIeYIr = aEVIV,In

·VIWIn) VIE Ie)? =

Saberos que E12 x, Zn
=
=

VIE,de) VkEdn"V(WInl
=

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