Notas de lectura
Física Matemática 1
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Reducción de orden (Reducción de orden)
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8. Se tiene la siguiente ecuación diferencial de Euler no homogénea:2 '' ' 2
x y + x y − y=x +1
Obtener la solución general aplicando el método de:
(a) Reducción de orden.
Primero vamos a convertir a la ED de coeficientes variables a coeficientes constantes reemplazando t=ln ( x ) .
2 d2 y dy 2
x 2
+ x − y=x +1
dx dx
t dt 1 1 1 1
t=ln ( x ) → x=e = → = dx=xdt
dx x dx x dt
dy ( dx1 = 1x dt1 ) → dydx = 1x dydt
( )( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
d dy d 1 dy d 1 dy 1 d y −1 dy 1 d y −1 dy 1 d y 1 d y dy d y 1 d y dy
= = + = 2 + = 2 + 2 2= 2 − → 2= 2 −
dx dx dx x dt dx x dt x dxdt x dt x x dt 2
x dt x dt x dt
2
dt dx x dt
2
dt
Reemplazando lo de rojo en la ED de coeficientes variables, obtendremos la ED con coeficientes constantes.
x
2
( ( 1 d 2 y dy
2
x dt 2
−
dt
+x
1 dy
x dt )) ( )
t 2
− y=( e ) +1
2
d y dy dy 2t
2
− + − y =e +1
dt dt dt
d2 y 2t
2
− y =e + 1
dt
Resolviendo la ED lineal homogénea asociada.
d2 y
− y =0
dt 2
2
r −1=0
2
r =1
r =±1
t −t
y h=C 1 e + C2 e
Ahora usaremos una de las soluciones de la ED homogénea asociada para obtener la solución particular de la ED no homogénea usando
reducción de orden.
t
y=u ( x ) y 1 → y=u ( x ) e
dy '
=u (x) e t +u ( x ) e t
dt
d 2 y ' ' ( ) t ' ( x ) t ' ( ) t ( ) t '' ( ) t ' t t
2
=u x e +u e + u x e + u x e =u x e +2 u ( x ) e +u ( x ) e
dt
, 2
d y ''( ) t ' t t
2
=u x e +2 u ( x ) e + u ( x ) e
dt
Reemplazando:
d2 y 2t
2
− y =e + 1
dt
'' t ' t t t 2t
u ( x ) e +2u ( x ) e +u ( x ) e −u ( x ) e =e +1
'' t ' t 2t
u ( x ) e +2u ( x ) e =e +1
d 2 u du
+2 =e t +e−t
dt
2
dt
du
Aplicamos reducción de orden reemplazando θ= .
dt
dθ
+2θ=e t + e−t
dt
θ p =A et +Be−t
t −t
θ ' p =A e −Be
A e t−Be−t +2 A et +2 Be−t=et +e−t
3 A e t + B e−t=1 e t +1 e−t
1
A= B=1
3
1 t −t
θ p = e +e
3
d up
Sabemos que θ p = , reemplazando obtenemos:
dt
d u p 1 t −t
= e +e
dt 3
1 t −t
d u p= e dt +e dt
3
1
∫ d u p = 3 ∫ e t dt+∫ e−t dt
1 t −t
u p = e −e
3
t yp
También sabemos que y p=u p e → u p= t
, reemplazando u p obtendremos la solución particular de la ED obtenida al reemplazar
e
t=ln (x).
yp1 t −t
= e −e
e 3
t
1 2t
y p= e −1
3
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