Matemáticas
Dominio
• Polinómicas- Dom f= ℝ
𝑝(𝑥)
• Racionales- 𝑓(𝑥) = 𝑞(𝑥)
q(x)≠0 Dom f= ℝ - {q(x)=0}
•
𝑛
Irracionales- 𝑓(𝑥) = √𝑔(𝑥) Si n par: g(x)≥0 Dom f= ℝ - {g(x)<0}
Si n impar: Dom f= ℝ
• 𝑥
Exponenciales- 𝑓(𝑥)=𝑎 , 𝑎 >0 Dom f= ℝ
• Logarítmicas- 𝑓(𝑥) = ln(𝑔(𝑥)), g(x)>0 Dom f= ℝ - {g(x)≤0}
Imagen
Función inversa de la función (Cambiamos x por y e y por x y despejamos y=𝑓 −1 (𝑥)) es decir, 𝐼𝑚𝑔 𝑓 =𝐷𝑜𝑚 𝑓 −1
Puntos corte con los ejes
• Eje OX --- y=0 Soluciones de la ecuación f(x)=0 (x,0)
• Eje OY --- x=0 (0, f(0))
Simetrías
• Simétrica con respecto al eje Y o simétrica par → f(-x)=f(x)
• Simétrica con respecto al origen o simétrica impar → f(-x)= -f(x)
Continuidad de una función en un punto
Una función 𝑓: ℝ→ℝ es continua en un punto 𝑥0 si se cumple:
1. El punto 𝑥0 pertenece al dominio de la función, es decir, existe 𝑓(𝑥0 ).
2. Existe lim 𝑓(𝑥)
𝑥 →𝑥0
3. Se verifica que lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0)
𝑥→𝑥0
𝐸𝑣𝑖𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒: lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 ≠ 𝑓(𝑎)
𝑥→𝑎
Discontinuidades 𝐷𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑒: 𝑥lim
→𝑎+
𝑓(𝑥) ≠ lim− 𝑓(𝑥)
𝑥→𝑎
𝐴𝑠𝑖𝑛𝑡ó𝑡𝑖𝑐𝑎: lim 𝑓(𝑥) = ±∞
{ 𝑥→𝑎`+ /𝑎−
Asíntotas
1. Horizontales: y =L lim 𝑓(𝑥) = 𝐿
𝑥→±∞
2. Verticales: x=a lim 𝑓(𝑥) = ±∞ (Revisar puntos que no pertenecen al dominio)
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
3. Oblicuas: y = mx+n lim =𝑚 lim 𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥 = 𝑛
𝑥→±∞ 𝑥 𝑥→±∞
Derivabilidad
1. Es continua en 𝑥0
𝑓(𝑥0 +ℎ)−𝑓(𝑥0 )
2. Es derivable por la derecha → lim+ ℎ
= 𝑓´(𝑥0+ )
ℎ→0
𝑓(𝑥 +ℎ)−𝑓(𝑥0 )
3. Es derivable por la izquierda → lim− 0 ℎ = 𝑓´(𝑥0− )
ℎ→0
4. 𝑓´(𝑥0+ ) = 𝑓´(𝑥0− )
Recta tangente
La recta tangente debe cumplir:
1. Su pendiente m = 𝑓´(𝑎)
2. Pasa por el punto (a, 𝑓(𝑎)) 𝑦 − 𝑓(𝑎) = 𝑓´(𝑎)(𝑥 − 𝑎)
Elasticidad
𝐸𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 |𝜀𝑓 (𝑥)| < 1 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑥
𝑥 ∙ 𝑓´(𝑥)
𝜖𝑓 (𝑥) = { 𝐸𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 |𝜀𝑓 (𝑥)| > 1 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑒𝑠 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑥
𝑓(𝑥)
𝐸𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 |𝜀𝑓 (𝑥)| = 1 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑙𝑎𝑡𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎
, Polinomio de Taylor
Proporciona una aproximación del comportamiento local de la función más precisa que la recta tangente. Así, si
𝑓:𝐴⊂ℝ⟼ℝ es continua y derivable hasta el orden n, se puede aproximar a un polinomio de grado n cuando consideramos
puntos muy cercanos a un punto 𝑎 dónde se está centrando el desarrollo:
𝑛 𝑓´(𝑎) 𝑓´´(𝑎) 𝑓´´´(𝑎) 𝑓𝑛´ (𝑎)
𝑇𝑓,𝑎 = 𝑓(𝑎) + (𝑥 − 𝑎) + (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑥 − 𝑎)3 + ⋯ + (𝑥 − 𝑎)𝑛
1! 2! 3! 𝑛!
En general:
𝑛
𝑓(𝑥) = 𝑇𝑓,𝑎 (𝑥) + 𝑅 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑅 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎𝑙 𝑹𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝑳𝒂𝒈𝒓𝒂𝒏𝒈𝒆 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛:
𝑓 (𝑛+1)´ (𝑐)
𝑅= (𝑥 − 𝑎)𝑛+1 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≤ 𝑐 ≤ 𝑥
(𝑛 + 1)!
Monotonía
Intervalos monotonía
Puntos críticos f (́ x)=0, puntos donde no existe f (́ x) o puntos que no pertenecen a Domf.
• f(x) creciente en (a,b) si f (́ x) >0 en (a,b)
• f(x) decreciente en (a,b) si f (́ x) <0 en (a,b)
Dada la curva 𝑦= 𝑓(𝑥):
1. Se calcula la derivada 𝑓′(𝑥) y se hallan sus “ceros” resolviendo la ecuación: 𝒇′(𝒙) = 𝟎. Los puntos obtenidos son los
puntos críticos, singulares o estacionarios. Se ordenan de menor a mayor: 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3 < ⋯ 𝑥𝑛
2. Se obtiene el signo de 𝑓′(𝑥) en cada intervalo entre dos ceros consecutivos, es decir (𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1 ), basta elegir un punto,
𝑧0 , en dicho intervalo, el signo de 𝑓′(𝑧0 ) será el mismo en todo el intervalo y se concluye:
• Si 𝑓′(𝑥) > 0 entre 𝑥𝑖 𝑦 𝑥𝑖+1 : 𝑓(𝑥) es creciente en (𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1).
• Si 𝑓′(𝑥) < 0 entre 𝑥𝑖 y 𝑥𝑖+1: 𝑓(𝑥) es decreciente en (𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1 ).
3. Si 𝑓′(𝑥) pasa de ser positiva a ser negativa en 𝑥𝑖 ⇒ 𝑥𝑖 es un máximo local.
4. Si 𝑓′(𝑥) pasa de ser negativa a ser positiva en 𝑥𝑖 ⇒ 𝑥𝑖 es un mínimo local.
5. Otra forma de ver si un punto 𝑥0 es un máximo o un mínimo es estudiar el signo de la segunda derivada (este
resultado se emplea en problemas de optimización como veremos en sesiones posteriores.
𝑆𝑖 𝑓´´(𝑥0 ) < 0 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜
𝑓´(𝑥0 ) = 0 → {
𝑆𝑖 𝑓´´(𝑥0 ) > 0 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜
6. 𝑥0 punto de inflexión si f (́ x) >0 o f (́ x) <0 a ambos lados de X0 ó si f ́ (́ 𝑥0 )=0 y f ́ ́ (́ 𝑥0 )≠0
Teorema: Si una función 𝑓: [𝑎, 𝑏] ⊂ℝ→ℝ tiene un único punto crítico 𝑥0 en un intervalo (a,b) y la derivada, 𝑓’(𝑥0 ),
tiene signos opuestos a ambos lados del punto crítico, esto no sólo es un óptimo (máximo o mínimo) local, sino
también global con respecto al intervalo.
Curvatura
Cambio de curvatura en los puntos de inflexión f ́ (́ x)=0, puntos donde no existe f ́ (́ x) o puntos que no pertenecen a
Domf.
• f(x) es convexa ∪ en (a,b) si f ́ (́ x) >0 en (a,b)
• f(x) es cóncava ∩ en (a,b) si f ́ (́ x) <0 en (a,b)
• Puntos de inflexión f´ (́ 𝑥0 )=0 y f ́ ´́ (́ 𝑥0 )≠0 ó f ́ (́ x) tiene signo distinto a ambos lados de 𝑥0
Teorema: Si 𝑓(𝑥) es convexa (cóncava) en un intervalo 𝐼 y se sabe que un punto 𝑥0 es mínimo (máximo), entonces
el punto 𝑥0 es un mínimo (máximo) global respecto de dicho intervalo 𝐼.
