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Ayudantía Continuidad, Ejercicios de Cálculo
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Un set de 3 ejercicios resueltos, que abarcan continuidad por definición epsilon-delta y el Teorema de Bolzano (Para Cáculo Real).
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Sebseb03
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Cálculo I 1-2024Profesor: Ignacio Huerta Navarro
Ayudante: Sebastián Puigmartı́ Landa
Ayudantı́a 8
8 de agosto de 2024
P1
Demuestre que la siguiente ecuación tiene solución en el intervalo (−3, 4);
x2 + 1 x4 + 1
+ =0 (1)
x+3 x−4
Solución
Primero demostremos que (1) es continua en el intervalo (−3, 4). Notemos que las fun-
ciones
x2 + 1 x+3 x4 + 1 x−4 (2)
Son continuas (demostrado en P3) en el intervalo anterior y además x + 3 y x − 4 son
distintas a cero en el mismo. Estas caracterı́sticas nos permiten aplicar el álgebra de
funciones continuas y poder construir la función (1).
2 +1 4 +1
Además, notemos que para f (x) = xx+3 + xx−4 . Si evaluamos en;
17
f (−2) = 5 − >0 (3)
6
10
f (3) = − 82 < 0 (4)
6
Es decir que hay un cambio de signo a lo largo del recorrido de la función, luego el Teorema
de Bolzano dice que efectivamente existe un cϵ[−2, 3] y por tanto para un cϵ(−3, 4) tal
que f (c) = 0. Por lo tanto hemos probado existencia de dicha solución.
P2
Sea la función f : R → R definida por:
0 si xϵQ
f (x) = (5)
x si xϵR\Q
Demuestre que solo es continua en el punto x = 0.
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