Resumen
Sumario Todo lo que necesitas saber para 1º de matemáticas
- Grado
- Matemáticas
- Institución
- Centro De Estudios Financieros (CEF)
Matemáticas con aplicaciones a las ciencias económicas
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Matemáticas IUnidad 1:
★ Números Reales: tiene estructura algebraica de cuerpo respecto a las sumas
y restas (se pueden realizar y valer las reglas asociativas, conmutativas y
distributivas)
NU{0} = 𝑁0 = Enteros No Negativos (unión de los números naturales y el 0)
F= Fraccionarios Puros (numerador no múltiplo del denominador)
I= Irracionales {x/x ≠ p/q; con p,q ∈ Z, q ≠ 0} es decir distinto a fraccionarios puros
expresiones decimales finitas 0,21 o infinitas( periódicas (puras 0,22… o mixtas
0,211…) o no periódicas 0,216… irracionales )
Ley de Tricotomía un real pertenece a uno y solo uno de las relaciones R = 0 ó R<0
ó R>0
★ Desigualdades: ∀ a, b ∊ R, a>b ⇿ a-b = p; p ∊ R+
Propiedades
1. Ley de Tricotomía dados a y b ∊ R vale una y solo una de las siguientes
relaciones a<b ó a=b ó a>b
2. Transitiva ∀ a,b,c ∊ R; 1) a>b ∧ b>c →a>c
2) a<b ∧ b<c →a<c
Demostración: para 1)
Hipótesis: i) a>b ↔ a-b=p; p1 ∊ R+ ii) b>c ↔ b-c=p2 ∊ R+
Sumo miembro a miembro las igualdades i) y ii):
(a-b)+(b-c) = p1+p2 ; p1+p2 = P, P ∊ R+
Aplico propiedad asociativa y conmutativa:
(a-c)+(-b+b) = (a-c)+0 = (a-c) = P P ∊ R+ ↔ a>c
3. Aditiva: ∀ a,b,c ∊ R; 1) a>b → a+c > b+c
2) a<b → a+c < b+c
Demostración: Hipótesis: a>b ↔ a-b = p+
Usando propiedades de los números reales
a-b=(a-b)+0=(a-b)+[c+(-c)] = (a+c)+(-b-c)=(a+c)+(-1).(b+c) =
(a+c)-(b+c)=p+
∴∀ (a+c)-(b+c)=p+ ↔ a+c>b+c
4. ∀ a,b,c,d ∊ R 1)a>b ∧ c>d → a+c>b+d
2) a<b ∧ c<d → a+c<b+d
Demostración: Hipótesis: 1. a>b 2. c>d
Si en 1. sumo “c” en ambos miembros se obtiene: a+c>b+c 𝛼
Si en 2. sumo “b” en ambos miembros se obtiene: c+b>d+b 𝛽
Luego por propiedad transitiva a+c>b+d
∴∀ a,b,c,d ∊ R, a>b ∧ c>d ⇾ a+c>b+d
1
,5. Multiplicativa: ∀ a,b,c ∊ R, a>b → a.c>b.c ; si c>0
↳ a.c<b.c ; si c<0
Demostración:
● Para c>0. Hipótesis: a>b ⇿ a–b=p1+
Multiplico ambos miembros por c (c>0) : c.(a-b) = c.p1+; c.p1+=p ∊ R+
(por ser producto de reales positivos)
Entonces c.a-c.b=p+ ⇿ c.a>c.b O que es lo mismo: a.c>b.c
∴∀ a,b,c ∊ R, a>b ⇾ a.c>b.c ; si c>0
● Para c<0. Hipótesis: a>b ⇿ a-b=p1+
Multiplico ambos miembros por c (c<0) : c.(a-b) = c.p1+; c.p1+=q ∊R-
Entonces c.a-c.b = q ⇿ c.a<c.b
∴∀ a,b,c ∊ R, a>b⇾a.c<b.c ; si c<0 O q es lo mismo: a.c<b.c si c<0
6. ∀ a,b,c ∊ R, a > b → a/c > b/c ; si c > 0
↳ a/c < b/c ; si c < 0
2
7. ∀ a ∊ R ⇾ 𝑎 ≥ 0
Demostración:
2 2
❖ Si a>0 : multiplico ambos miembros por “a”: a.a>a.0 ⇾ 𝑎 >a.0 ⇾ 𝑎 >0
❖ Si a<0 : multiplico ambos miembros por “a”: (cambia de sentido por ser
2 2
producto R-) a.a>a.0⇾ 𝑎 >a.0 ⇾ 𝑎 >0
2 2
● Si a=0 : multiplico ambos miembros por “a”: a.a=a.0 ⇾ 𝑎 =a.0 ⇾ 𝑎 =0
Intervalos son conjuntos de números reales
Tipos De Notación de Notacion Conjuntista
Intervalos intervalos
Abierto (a,b) {x∊R / a<x<b}
Cerrado [a,b] {x∊R / a≤x≤b}
Semiabierto [a,b) {x∊R / a≤x<b}
(a,b] {x∊R / a<x≤b}
(-∞,b] {x∊R / x≤b}
(-∞,b) {x∊R / x<b}
Infinitos (a,∞) {x∊R / x>a}
[a,∞) {x∊R / x≥a}
(-∞,∞) {x / x∊R}
Inecuaciones de una variable: P(x)>Q(x) (o bien ≥ ó < ó ≤) donde P(x) y
Q(x) son dos expresiones algebraicas en una variable.
Inecuaciones Cuadráticas: Es una desigualdad entre dos polinomios de
2
grado 2, que puede ser escrita en la forma a𝑥 +b𝑥+c ≥ 0; a,b,c ∊ R ∧ a ≠ 0
2
, ★ Valor Absoluto: sea x∊R; el valor absoluto de “x” se denota por |x| y se
define como |x|=→ x, si x≥0
↳ -x, si x<0
🔸 Consecuencias de la def:
🔸
El VA es un número no negativo En símbolos: ∀ x є R, |x|≥0
El VA de un número real es igual al valor absoluto de su opuesto
🔸
En símbolos: ∀ x є R, |x| = |-x|
i) ∀ x є R, ∀ a є R+ |x| = a ⇿ x = ± a
ii) ∀ x, a, b є R , b>0 , |x-a|=b ↔ x-a=±b → x=a±b → x1= a+b
↳ x2= a-b .
Propiedad del Valor Absoluto de un número real:
🔻Propiedad 1 ∀ x ∊ R: |𝑥| = 𝑥 2 2
Demostración:
2 2
i) Si x ≥ 0, |x| = x → |𝑥| = |x| . |x| = x.x = 𝑥
2 2
ii) Si x<0, |x| = -x → |𝑥| = |x| . |x| = (-x).(-x) = 𝑥
2 2
Luego ∀ x ∊ R: |𝑥| = 𝑥 Y esto es lo que se quería probar
🔻Propiedad 2 ∀ x ∊ R: |𝑥| = 2
𝑥
2
Se puede inferir, entonces, que: 𝑥 = → x, si x≥0 lo cual coincide con
↳ -x, si x<0 la def dada de VA
🔻Propiedad 3 ∀ x ∊ R ∧ a > 0, |x| < a ↔ -a < x < a
Demostración: se debe probar la doble implicancia:
a) Se probará primero que: |x| < a → -a < x < a
i) Sea x ≥ 0 → |x| = x, como por hipótesis |x| < a → x < a (1)
Como a > 0 → -a < 0 y como x ≥ 0 , o sea 0 ≤ x → -a < x (2)
De (1) y (2) se concluye que: sí x ≥ 0 → -a < x < a
ii) Sea x < 0 → |x| = -x
Por hipótesis |x| < a → - x < a → x > -a → -a < x (1)
Como a > 0 y x < 0 → x < a (2)
De (1) y (2) se concluye que: sí x < 0 → -a < x < a
De i) y ii) se concluye que ∀ x ∊ R y a > 0 : |x| < a → -a < x < a
b) Se probará ahora que: -a < x < a → |x| < a
i) Si x ≥ 0 → |x| = x; como por hipótesis x < a, entonces |x| < a
ii) Si x < 0 → |x| = -x; como por hipótesis -a < x → -x< a, entonces |x| < a
De i) y ii) se concluye que ∀ x ∊ R y a > 0 : -a < x < a → |x| < a
De a) y b) se concluye que: ∀ x ∊ R ∧ a > 0, |x| < a ↔ -a < x < a
Tener en cuenta: Si a < 0 : |x| < a → Cs= Ø
Si a = 0 : i) |x| < 0 → Cs = Ø ii) |x| ≤ 0 → Cs = {0}
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