Dit is een compacte, duidelijke samenvatting van het vak I-chemische procesregeling in het masterjaar. Hierin word alle te kennen theorie duidelijk uitgelegd in de woorden van de prof, en alle niet te kennen wiskundige vergelijkingen uit de cursus zijn eruit gelaten.
Samenvatting chemische
procesregeling
5. wiskundige hulpmiddelen en definities
Indelingen van systemen
1) Met slechts 1 uitgang : monovariabel systeem
a. SISO : single input- single output
b. MISO : multiple input- single output
2) Met meerdere uitgangen : multivariabel systeem = MIMO : multiple input- multiple output
Lineariseren
Je kan enkel laplacetransformaties nemen van lineaire differentiaalvergelijkingen:
Een lineaire vergelijking :
Indien de differentiaalvergelijking niet lineair is moet je hem lineariseren
( dxdf )
Dit gebeurt met de volgende formule : f l ( x )=f ( x 0 ) +
x=x 0
.( x−x 0)
Met :
- f(x) = de originele functie
- fL(x) = de gelineariseerde functie
- x0 = werkpunt waarrond wordt gelinealiseerd (de ingestelde waarde)
- f(x0) = de originele functie met x vervangen door x 0
Voor een lineair systeem geldt:
Met :
- pi en qi = constanten
- y(t) = uitgangsveranderlijke
- x(t) = ingangsveranderlijke
- n = de orde van de differentiaalvergelijking
, 2
afwijkingsveranderlijken
De differentiaalberekeningen van lineaire systemen kunnen makkelijker gemaakt worden door het
gebruik van afwijkingsveranderlijken: zA(t) = z(t) - zs
- met zA(t) = de afwijking
- z(t) = de veranderlijke (gemeten)
- zs = de ingestelde waarde (statische toestand)
Dus het invoeren van afwijkingsveranderlijken bij lineaire systemen die zich voor t<0 in de statische
toestand bevinden, biedt volgende voordelen:
- de natuur van de differentiaalvergelijking wordt niet gewijzigd. Eventuele constante termen,
die slechts een invloed hebben op de statische toestand vallen weg
- de beginvoorwaarde van afwijkingsveranderlijken is altijd nul
- laplacetransformaties van de afgeleiden van afwijkingsveranderlijken is heel eenvoudig
- In procesregeling ben je enkel geïnteresseerd in de afwijking
Ingang-uitgangmodellering
De transferfunctie H(s) = een vergelijking in het laplace domein die het verband geeft tussen de
ingang XA(s) en de uitgang YA(s)
A
Y (s)
H ( s )= A
X ( s)
- A : de afwijkingsveranderlijke
- (s) : lapacedomein
Met gekende transferfunctie en gekende storing X A(s) kunnen we de uitgang voorspellen.
- XA(s) = B/s
o Met B de stapfunctie storing (bv koelwater wordt ineens 10 graden warmer B=10)
Probleem kan wiskundig zo makkelijk ontleden worden
De statische versterking K
= is de verhouding van de uiteindelijke verandering (t=ꚙ) van de uitgangsveranderlijke en de
ingangsveranderlijke van een proces na een stapfunctie aan de ingang.
- Is een eigenschap van het proces
- Zelfs zonder een sturing
Δy
K=
[ ]
Δx t =inf
=¿ ¿
Voor een bepaalde stapfunctie:
- Als K groot is zal de verandering aan de uitgang groot zijn = het proces is zeer gevoelig voor
storingen
, 3
- Als K klein is zal de verandering aan de uitgang klein zijn = het proces is weinig gevoelig voor
storingen
Voorbeeld 1 : een buffervat met constante warmteproductie
1) We vertrekken van een energiebalans
J
¿+GEPRODUCEERD=UIT + ACCUMULATIE
[ s
=W
]
- Constante warmteproductie dus Φ G , s=cte∈de tijd
- Geen steady state systeem dus accumulatie is niet 0 (d…/dt)
kg J kg J d 1 J
ṁ
[ ]
s [ ]
.T i [ ° C ] .C p
kg . s
+ ΦG , s= ṁ
[ ]
s
.T [°C ].C p +
[ ] []
kg . s dt s
. T [ ° C ] m CSTR [ kg ] .C p
[ ]
kg . s
- CSTR reactor : T in reactor = T uitgaande stroom = T
Kan ook massabalans [kg/s of mol/s]
2) Dan kijken of deze functie lineair is ja
x. cte + cte = y.cte + y’.cte
3) Opstellen van de normaal vergelijking :
d
a. ṁ .T i (t).C p +Φ G , s=ṁ .T (t) .C p + .T ( t ) . mCSTR . C p
dt
b. ṁ .C p wegwerken
mCSTR d .T (t) Φ
c. . +T ( t )=T i ( t ) + G , s
ṁ dt ṁ. C p
d. We definiëren de volgende variabelen:
mCSTR
i. =τ=de gemiddelde verblijfstijd ∈de reactor [ s ]
ṁ
ii. De factor voor T i ( t )( in dit geval 1) = K, de statische versterking
d . T (t ) ΦG ,s
e. τ . +T ( t )=K .T i (t ) +
dt ṁ . C p
4) Invoeren van afwijkingsveranderlijken : TA(t)= T(t) – Ts TAi(t)= Ti(t) – Ti,s
A
d (T ( t ) +T s ) A Φ
a. τ . +T ( t ) +T s =K . (T A i ( t ) +T i , s )+ G , s
dt ṁ .C p
, 4
dTs
b. Afgeleide van een constante is 0 : =0
dt
d T A (t ) A A ΦG , s
c. τ . +T ( t ) +T s =K . (T i ( t ) +T i , s )+
dt ṁ .C p
5) Als we deze vergelijking (3.e) schrijven in de statische toestand:
dTs Φ
a. τ . + T s=K .T i , s+ G , s
dt ṁ .C p
dTs
b. Afgeleide van een constant getal is 0 :τ . =0
dt
ΦG ,s
c. T s=K . T i , s +
ṁ. C p
6) 4.c en 5.c combineren dan krijgen we:
d T A (t ) A A
a. τ . +T ( t ) =K .T i ( t )
dt
7) Laplace nemen
A A A
a. τ . d T ( s ) . s +T ( s )=K .T i ( s )
8) transferfunctie in het Laplacedomein opstellen :
A
T (s)
a. H ( s )=
T Ai( s )
K
b. H ( s )=
τ . s +1
i. Met K = 1
1
c. H ( s )=
τ . s +1
9) We willen nu de temperatuur aan de uitgang weten in het tijdsdomein : inverse Laplace van
YA(s) = H(s) . XA(s)
ΔT i
a. XA(s)=T Ai ( s )=
s
i. Met ΔTi = de stapfunctie aan de ingang
1 ΔTi
10) YA(s) ¿ T A ( s )= H(s) . XA(s) = .
τ . s+ 1 s
A A B
a. Splitsen in partieelbreuken : T ( s )= +
s τ . s+1
i. A = ΔTi
ii. B = -τ. ΔTi
ΔTi τ. ΔTi
b. T A ( s )= −
s τ . s+1
11) Via de laplacetransformaties :
−t
1
a. T A ( t ) =ΔT i−τ . Δ T i . .e τ
τ
−t
b. T A ( t ) =ΔT −Δ T .e τ
i i
−t
c. T A ( t ) =ΔT (1−e τ )
i
Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:
Qualité garantie par les avis des clients
Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.
L’achat facile et rapide
Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.
Focus sur l’essentiel
Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.
Foire aux questions
Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?
Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.
Garantie de remboursement : comment ça marche ?
Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.
Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?
Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur woutdewachter. Stuvia facilite les paiements au vendeur.
Est-ce que j'aurai un abonnement?
Non, vous n'achetez ce résumé que pour €10,49. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.
