Resume
Samenvatting Lineaire Algebra (deel 2)
- Cours
- Établissement
Dit is een samenvatting van Lineaire Algebra (deel 2), zoals gegeven op de Universiteit Utrecht. Het eerste deel van de samenvatting is ook op mijn account te vinden.
[Montrer plus]
1 vérifier
Par: ArbitrarilyArbitrary • 2 année de cela
Vendeur
S'abonner
brenda00
Avis reçus
Aperçu du contenu
LINEAIRE ALGEBRA DEEL 2LINEAIRE AFBEELDING
Zij V, W een tweetal vectorruimten over het scalairenlichaam R. Een lineaire afbeelding A : V → W
is een afbeelding met de volgende eigenschappen:
1. Voor elke ~x, ~y ∈ V geldt A(~x + ~y ) = A(~x) + A(~y ).
2. Voor elke λ ∈ R, ~x ∈ V geldt A(λ~x) = λA(~x).
Matrixvermenigvuldiging is het standaardvoorbeeld van een lineaire afbeelding. Zij M een m × n-
matrix met reële coëfficienten. De afbeelding Rn → Rm die aan ~x ∈ Rn de vector M~x ∈ Rm toekent,
is een lineaire afbeelding. Uit de elementaire regels van matrixvermenigvuldiging volgt immers
dat M (~x + ~y ) = M~x + M ~y en M (λ~x) = λM~x.
Zij V, W een tweetal vectorruimten over het scalairenlichaam R en A : V → W een lineaire afbeeld-
ing. Dan geldt:
1. Voor elk tweetal ~x, ~y ∈ V en λ, µ ∈ R geldt A(λ~x + µ~y ) = λA(~x) + µA(~y ).
2. A(~0) = ~0
Zij f : V → W een lineaire afbeelding, dan is de kern van f de verzameling van alle ~x ∈ V met
f (~x) = ~0. Notatie: ker(f ). De kern van een lineaire afbeelding is een lineaire deelruimte van
V . De kern bestaat uit alle vectoren die naar 0 geprojecteerd worden. Zij V, W een tweetalnvec-
o
torruimten en A : V → W een lineaire afbeelding. Dan is A injectief precies dan als ker(A) = ~0 .
Injectief: Als f (a) = f (b), dan a = b.
Surjectief: Als voor elke b ∈ B een element a ∈ A bestaat waarvoor f (a) = b met f : A → B.
We noemen twee vectorruimten V, W isomorf als er een bijectieve lineaire afbeelding A : V →
W bestaat. Zij A : V → W een bijectieve lineaire afbeelding tussen twee vectorruimten V, W . Dan
is de inverse afbeelding A−1 : W → V ook lineair.
Zij V, W een tweetal vectorruimten en A : V → W een lineaire afbeelding.
Dan is A(V ) een lineaire deelruimte van W .
Een eindigdimensionale vectorruimte over R is altijd isomorfnmet Rn .oDit gaat als volgt:
Zij V een eindigdimensionale vectorruimte over R en B = ~b1 , ..., ~bn een geordende basis. Elke
~x ∈ V kan op unieke manier geschreven worden als ~x = x1~b1 + x2~b2 + ... + xn~bn met xi ∈ R.
We noemen x1 , x2 , ..., xn de coördinaten van ~x ten opzichte van B. De kolom bestaande uit deze
coördinaten noemen we de coördinatenkolom van ~x ten opzichte van B. We geven deze aan met
~xB . De toekenning ~x 7→ ~xB geeft een bijectieve lineaire afbeelding tussen V en Rn .
1
, LINEAIRE AFBEELDINGEN IN EINDIGE DIMENSIE
Zij V, W een tweetal vectorruimten over het scalairenlichaam R en A : V → W een lineaire af-
beelding. n We nemen o aan dat V, W eindigdimensionaal zijn met dimensies n respectievelijk m.
Zij B = ~b1 , ..., ~bn een geordende basis van V en C = {~c1 , ..., ~cm } een geordende basis van W .
We geven de coördinatenkolom van ~x ∈ V ten opzichte van B aan met ~xB . En evenzo is yC de
coördinatenkolom van y ∈ W ten opzichte van C.
Gegeven V, W , hun geordende bases B, C, en A : V → W . Stel ~x ∈ V , y ∈ W zó dat ~y = A(~x). Zij
AB ~
C de m × n-matrix die we krijgen door als i-de kolom de coördinatenkolom van A(bi ) ten opzichte
B
van C te nemen. Dan geldt: ~yC = AC ~xB .
VOORBEELD
Zij R[X]3 de vectorruimte van polynomen van graad ≤ 3 en beschouw de lineaire afbeelding D :
R[X]3 → R[X]3 gegeven door D : p(X) → p0 (X). Omdat bereik en domein hetzelfde zijn kunnen
we voor B en C dezelfde basis van de ruimte R[X]3 nemen. We kiezen B = 1, X, X 2 , X 3 . De
afbeelding D losgelaten op deze elementen geeft achtereenvolgens 0, 1, 2X, 3X 2 . Schrijven we deze
vectoren uit ten opzichte van C(= B), dan vinden we de coördinaten kolommen
0 1 0 0
0 0 2 0
, , ,
0 0 0 3
0 0 0 0
De matrix van D ten opzichte van B wordt dus
0 1 0 0
B
0 0 2 0
DB =0 0
0 3
0 0 0 0
Een speciaal geval is dat W = V en A de identieke afbeelding I : V → V gegeven door I : ~x → ~x.
Zij B, C een tweetal geordende bases van V en ICB de n × n-matrix die we krijgen door als i-de
kolom de coördinaten ten opzichte van C van de vector ~bi te nemen. Dan geldt
~xC = ICB ~xB
Dit gevolg is te interpreteren als de relatie tussen de B-coördinaten en C-coördinaten van ~x. We
noemen dit een coördinatentransformatie. Met de notaties als boven geldt dat ICB = IB C −1 .
Zij V, W en A : V → W . In plaats van B, C kiezen we een tweetal andere geordende bases
B 0 , C 0 van V respectievelijk W . Het verband tussen AB B0
C en AC 0 kan bepaald worden door de
coördinatentransformatieformules. Er geldt
0 0
AB C B B
C 0 = I C 0 AC I B
Twee n × n-matrices A, B heten geconjugeerd als er een inverteerbare n × n-matrix bestaat zó
dat B = S −1 AS.
2
Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:
Qualité garantie par les avis des clients
Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.
L’achat facile et rapide
Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.
Focus sur l’essentiel
Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.
Foire aux questions
Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?
Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.
Garantie de remboursement : comment ça marche ?
Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.
Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?
Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur brenda00. Stuvia facilite les paiements au vendeur.
Est-ce que j'aurai un abonnement?
Non, vous n'achetez ce résumé que pour €3,54. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.
Peut-on faire confiance à Stuvia ?
4.6 étoiles sur Google & Trustpilot (+1000 avis)
69411 résumés ont été vendus ces 30 derniers jours
Fondée en 2010, la référence pour acheter des résumés depuis déjà 15 ans