4052LADIF SAMENVATTING
Lineaire Algebra en
Differentiaalvergelijkingen
4052LADIF
Samenvatting
Pagina 1 van 57
, 4052LADIF SAMENVATTING
Inhoudsopgave
Inhoudsopgave 2
H1 Eerste orde DV 4
§1.4 De separabele Differentiaalvergelijking 4
§1.6 Eerste orde LDV & §1.8 Variatie van constante 5
§1.8 Substitutie 6
H2 Matrices 8
§2.1 Definities van matrices 8
§2.2 Matrixbewerkingen 9
§2.3 Stelsels lineaire vergelijkingen 10
§2.4/2.5 Oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen 10
§2.6 Inverse van een matrix 12
H3 Determinanten 15
§3.3 Determinanten 15
§3.2 Rekenregels met determinanten 15
H4 Vectorruimten 17
§4.1 Vectoren in 17
§4.3 Lineaire combinaties en deelruimten 17
§4.4 Lineaire omhulsel/opspansel 18
§4.5 Lineaire (on)afhankelijkheid 19
§4.6 Basis en dimensie 20
§4.7 Transformeren 21
§4.8 Rijruimte en kolomruimte 22
§4.9 Dimensies en bij rij- en kolomruimten 23
H5 Transformaties 25
§5.1 Lineaire afbeeldingen 25
§5.2 Meetkundige lineaire afbeeldingen 26
§5.3 Kern en beeldruimte 27
§5.6 Eigenwaarden en eigenvectoren 28
§5.8 Diagonaliseerbaarheid 29
H6 Hogere orde LDV 32
§6.1 Generieke theorieën 32
§6.2 De homogene LDV met constante coëfficiënten 33
§6.3 De inhomogene LDV met constante coëfficiënten 34
§6.7 Variatie van constante 35
Pagina 2 van 57
, 4052LADIF SAMENVATTING
§6.9 Ordeverlaging 36
H7 Stelsel met eerste orde LDV’s 38
§7.1 & 7.2 Lineaire differentiaalvergelijkingen 38
§7.3 Theorema’s over eerste orde matrices met LDV's 38
§7.4 & §7.9 Homogene stelsels eerste orde LDV’s 39
§7.5 & §7.9 Dubbele reële eigenwaarde 41
§7.6 Inhomogene stelsels LDV’s 42
H8 De Laplacetransformatie 46
§8.1/§8.2 Definitie van de Laplacetransformatie 46
§8.4 Oplossen van een beginwaardeprobleem 46
§8.5 De eerste verschuivingsstelling 47
§8.6 Stapfuncties 47
§8.7 Tweede verschuivingsstelling 48
§8.8 Deltafunctie van Dirac 49
§8.9 Convolutie 49
H10 Partiële DV’s 51
Het warmtegeleidingsprobleem 51
Inhomogene randvoorwaarden 53
Fouriertransformeren 54
Golfprobleem 55
Pagina 3 van 57
, 4052LADIF SAMENVATTING
H1 Eerste orde DV
Een differentiaalvergelijking is een vergelijking dat een dynamisch systeem (veranderend in de tijd)
beschrijft. In een differentiaalvergelijking komen 1 of meer afgeleiden van een onbekende functie
voor. De hoogste hoeveelheid afgeleide heet de orde van de differentiaalvergelijking. Bij het
oplossen van een DV schrijf je de functie in principe in expliciete vorm, tenzij dat niet mogelijk is.
Indelen van differentiaalvergelijkingen
Gewone en partiële differentiaalvergelijkingen
Bij gewone differentiaalvergelijkingen hangt de gezochte functie maar van 1 variabele af. Bij
partiële differentiaalvergelijkingen komen er partiële afgeleiden in de DV voor en hangt de
gezochte functie dus van meerdere variabelen af.
∂T ∂T
Gewone DV: y'+ et • y = t 2 − sin ( t ) Partiële DV: ( x, y, z,t ) + ( x, y, z,t ) = x 2 yt
∂x ∂t
Lineaire en niet-lineaire differentiaalvergelijkingen
Een lineaire DV is te schrijven als: a0 ( x ) y( ) + a1 ( x ) y( ) + ...an ( x ) y = F ( x ) . Dit betekent dat de
n n−1
coëfficiënten in de DV en de rechterkant maar van 1 variabele af mogen hangen. Bij niet-lineaire
differentiaalvergelijkingen komen er meerdere variabelen voor of bijvoorbeeld het kwadraat van de
functie.
LDV: y'+ et • y = t 2 − sin ( t ) Niet-lineaire DV: y'+ et • y 2 = t 2 − 6
Homogene en inhomogene differentiaalvergelijkingen
Als geldt dat de rechterkant van de DV gelijk is aan 0 dan heet de DV homogeen. Anders heet de
DV inhomogeen.
Homogene DV: y'+ et • y = 0 Inhomogene DV: y'+ et • y = t 2 − sin ( t )
Reguliere en irreguliere differentiaalvergelijkingen
Een differentiaalvergelijking is regulier als uit y n + a1 ( x ) y n−1 + a2 ( x ) y n−1 ( x ) + ...+ an ( x ) y = F ( x ) de
termen a1 ( x ) ,a2 ( x ) ,...,an ( x ) en F ( x ) op een interval I continu zijn.
§1.4 De separabele Differentiaalvergelijking
Een separabele DV is altijd een eerste orde DV en is te schrijven als: y' = f ( x, y ) .
Wij focussen ons op eerste orde LDV: a0 ( x ) y'+ a1 ( x ) y = F ( x ) met a0 ≠ 0 .
Een DV is separabel als de termen met x gescheiden kunnen worden van de termen met y . Dit
betekent dat de DV geschreven kan worden als: p ( y ) • y' = q ( x ) .
Scheiding van variabelen
De oplossingsmethode voor separabele DV’s is: scheiding van variabelen. Hierbij moet je bij het
delen opletten dat je vaak de oplossing y = 0 verliest en dat je deze dus apart erbij moet
schrijven.
Voorbeeld
dy xysin ( x )
Los op: =
dx y +1
y + 1 dy
• = x sin ( x ) of y = 0
y dx
y + 1 dy
∫ y • dx • dx = ∫ x sin ( x ) dx
Pagina 4 van 57
Lineaire Algebra en
Differentiaalvergelijkingen
4052LADIF
Samenvatting
Pagina 1 van 57
, 4052LADIF SAMENVATTING
Inhoudsopgave
Inhoudsopgave 2
H1 Eerste orde DV 4
§1.4 De separabele Differentiaalvergelijking 4
§1.6 Eerste orde LDV & §1.8 Variatie van constante 5
§1.8 Substitutie 6
H2 Matrices 8
§2.1 Definities van matrices 8
§2.2 Matrixbewerkingen 9
§2.3 Stelsels lineaire vergelijkingen 10
§2.4/2.5 Oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen 10
§2.6 Inverse van een matrix 12
H3 Determinanten 15
§3.3 Determinanten 15
§3.2 Rekenregels met determinanten 15
H4 Vectorruimten 17
§4.1 Vectoren in 17
§4.3 Lineaire combinaties en deelruimten 17
§4.4 Lineaire omhulsel/opspansel 18
§4.5 Lineaire (on)afhankelijkheid 19
§4.6 Basis en dimensie 20
§4.7 Transformeren 21
§4.8 Rijruimte en kolomruimte 22
§4.9 Dimensies en bij rij- en kolomruimten 23
H5 Transformaties 25
§5.1 Lineaire afbeeldingen 25
§5.2 Meetkundige lineaire afbeeldingen 26
§5.3 Kern en beeldruimte 27
§5.6 Eigenwaarden en eigenvectoren 28
§5.8 Diagonaliseerbaarheid 29
H6 Hogere orde LDV 32
§6.1 Generieke theorieën 32
§6.2 De homogene LDV met constante coëfficiënten 33
§6.3 De inhomogene LDV met constante coëfficiënten 34
§6.7 Variatie van constante 35
Pagina 2 van 57
, 4052LADIF SAMENVATTING
§6.9 Ordeverlaging 36
H7 Stelsel met eerste orde LDV’s 38
§7.1 & 7.2 Lineaire differentiaalvergelijkingen 38
§7.3 Theorema’s over eerste orde matrices met LDV's 38
§7.4 & §7.9 Homogene stelsels eerste orde LDV’s 39
§7.5 & §7.9 Dubbele reële eigenwaarde 41
§7.6 Inhomogene stelsels LDV’s 42
H8 De Laplacetransformatie 46
§8.1/§8.2 Definitie van de Laplacetransformatie 46
§8.4 Oplossen van een beginwaardeprobleem 46
§8.5 De eerste verschuivingsstelling 47
§8.6 Stapfuncties 47
§8.7 Tweede verschuivingsstelling 48
§8.8 Deltafunctie van Dirac 49
§8.9 Convolutie 49
H10 Partiële DV’s 51
Het warmtegeleidingsprobleem 51
Inhomogene randvoorwaarden 53
Fouriertransformeren 54
Golfprobleem 55
Pagina 3 van 57
, 4052LADIF SAMENVATTING
H1 Eerste orde DV
Een differentiaalvergelijking is een vergelijking dat een dynamisch systeem (veranderend in de tijd)
beschrijft. In een differentiaalvergelijking komen 1 of meer afgeleiden van een onbekende functie
voor. De hoogste hoeveelheid afgeleide heet de orde van de differentiaalvergelijking. Bij het
oplossen van een DV schrijf je de functie in principe in expliciete vorm, tenzij dat niet mogelijk is.
Indelen van differentiaalvergelijkingen
Gewone en partiële differentiaalvergelijkingen
Bij gewone differentiaalvergelijkingen hangt de gezochte functie maar van 1 variabele af. Bij
partiële differentiaalvergelijkingen komen er partiële afgeleiden in de DV voor en hangt de
gezochte functie dus van meerdere variabelen af.
∂T ∂T
Gewone DV: y'+ et • y = t 2 − sin ( t ) Partiële DV: ( x, y, z,t ) + ( x, y, z,t ) = x 2 yt
∂x ∂t
Lineaire en niet-lineaire differentiaalvergelijkingen
Een lineaire DV is te schrijven als: a0 ( x ) y( ) + a1 ( x ) y( ) + ...an ( x ) y = F ( x ) . Dit betekent dat de
n n−1
coëfficiënten in de DV en de rechterkant maar van 1 variabele af mogen hangen. Bij niet-lineaire
differentiaalvergelijkingen komen er meerdere variabelen voor of bijvoorbeeld het kwadraat van de
functie.
LDV: y'+ et • y = t 2 − sin ( t ) Niet-lineaire DV: y'+ et • y 2 = t 2 − 6
Homogene en inhomogene differentiaalvergelijkingen
Als geldt dat de rechterkant van de DV gelijk is aan 0 dan heet de DV homogeen. Anders heet de
DV inhomogeen.
Homogene DV: y'+ et • y = 0 Inhomogene DV: y'+ et • y = t 2 − sin ( t )
Reguliere en irreguliere differentiaalvergelijkingen
Een differentiaalvergelijking is regulier als uit y n + a1 ( x ) y n−1 + a2 ( x ) y n−1 ( x ) + ...+ an ( x ) y = F ( x ) de
termen a1 ( x ) ,a2 ( x ) ,...,an ( x ) en F ( x ) op een interval I continu zijn.
§1.4 De separabele Differentiaalvergelijking
Een separabele DV is altijd een eerste orde DV en is te schrijven als: y' = f ( x, y ) .
Wij focussen ons op eerste orde LDV: a0 ( x ) y'+ a1 ( x ) y = F ( x ) met a0 ≠ 0 .
Een DV is separabel als de termen met x gescheiden kunnen worden van de termen met y . Dit
betekent dat de DV geschreven kan worden als: p ( y ) • y' = q ( x ) .
Scheiding van variabelen
De oplossingsmethode voor separabele DV’s is: scheiding van variabelen. Hierbij moet je bij het
delen opletten dat je vaak de oplossing y = 0 verliest en dat je deze dus apart erbij moet
schrijven.
Voorbeeld
dy xysin ( x )
Los op: =
dx y +1
y + 1 dy
• = x sin ( x ) of y = 0
y dx
y + 1 dy
∫ y • dx • dx = ∫ x sin ( x ) dx
Pagina 4 van 57
