Samenvatting van het vak 'Wiskunde voor bedrijfswetenschappen B' gegeven door Professor Dirk Janssens, Faye Caluwé en Hendrik-Jan Van Damme voor het schakeljaar Handelswetenschappen aan KULeuven Antwerpen. Dit vak loopt gelijk met de wiskunde voor eerste bachelorjaar in Handelswetenschappen. Deze ...
Wiskunde B
Schakeljaar Handelswetenschappen – KU Leuven, campus Antwerpen
,Inhoudstafel
1 H11: Functies met 2 variabelen ......................................................................................5
1.1 Niveaukrommen .....................................................................................................5
1.2 Algemene functies..................................................................................................5
2 H12: Partiële afgeleiden ...............................................................................................13
2.1 PA met 1e orde .....................................................................................................13
2.1.1. Benadering voor partiële afgeleide NAAR X ................................................15
2.1.2. Benadering voor partiële afgeleide NAAR Y ................................................15
2.2 PA met hogere orde .............................................................................................16
2.3 Differentiaal van een functie met 2 variabelen .....................................................18
2.3.1. Raakvlakbenadering (functie F van 2 variabelen) ........................................18
2.4 Richtingsafgeleide en gradiënt van een functie in twee variabelen .....................20
2.4.1. 𝒖: richtingsvector (andere notatie: 𝒖) ...........................................................20
2.4.2. Richtingsafgeleide (= rico van de raaklijn) ...................................................20
2.4.3. Gradiënt (= Richtingsvector) ........................................................................21
2.4.4. Oefeningen op richtingsafgeleide en gradiënt van een functie in twee
variabelen .....................................................................................................................22
2.5 Kettingregels ........................................................................................................25
2.5.1. Bijzonder geval (belangrijk voor 2.6) ............................................................25
2.5.2. Oefeningen op kettingregels ........................................................................26
2.6 Impliciete differentiatie .........................................................................................28
2.6.1. Oefeningen impliciete differentiatie ..............................................................29
3 H13: Ongebonden extrema ..........................................................................................32
3.1 Extrema van een functie met 2 variabelen 𝑭(𝒙, 𝒚) ...............................................32
3.1.1. Intermezzo: Stelsels oplossen .....................................................................33
3.1.2. Oefeningen ongebonden extrema ................................................................34
3.1.3. Intermezzo: Extremum vraagstukken oplossen ...........................................37
4 H14: Gebonden extrema ..............................................................................................41
4.1.1. Oefeningen op gebonden extrema ...............................................................42
5 H15: Economische toepassingen .................................................................................49
5.1 Algemene methodes ............................................................................................49
5.1.1. ONGEBONDEN extrema .............................................................................49
5.1.2. GEBONDEN extrema ...................................................................................49
5.2 Prijsdiscriminatie en winstmaximalisatie ..............................................................49
5.2.1. Prijsdiscriminatie ..........................................................................................49
5.2.2. Winstmaximalisatie ......................................................................................49
, 5.3 Nutsfuncties en nutsmaximalisatie .......................................................................54
5.3.1. Nutsfunctie ...................................................................................................54
5.3.2. Alternatief via impliciete differentiatie ...........................................................54
5.3.3. Inkomen- consumptiekromme ......................................................................55
5.3.4. Elasticiteiten .................................................................................................55
5.4 Productiefuncties..................................................................................................65
5.4.1. Oefening op productiefunctie .......................................................................65
6 H10: Lineaire programmatie .........................................................................................67
6.1 Lineaire vraagstukken oplossen...........................................................................67
6.1.1. Tips om rechten te tekenen in het vlak ........................................................67
6.1.2. Voorbeeld (Wiskundig model & grafische oplossing) ...................................68
6.2 Oplossing via Lagrangefunctie .............................................................................72
6.2.1. Stappen (kijk H14: Gebonden extrema) .......................................................72
6.2.2. Voorbeeld (oplossing via Lagrange functie) .................................................73
6.3 Geheeltallige oplossingen ....................................................................................75
6.3.1. Voorbeeld .....................................................................................................75
7 H9: Lineaire algebra (Matrices) ....................................................................................77
7.1 Definities: reëel matrices ......................................................................................77
7.1.1. Speciale matrices .........................................................................................77
7.1.2. Transponeren ...............................................................................................79
7.1.3. Symmetrische matrix ....................................................................................79
7.2 Bewerkingen met matrices ...................................................................................80
7.2.1. OPTELLING van matrices ............................................................................80
7.2.2. VERMENIGVULDIGEN van een matrix met reëel getal ..............................80
7.2.3. VERMENIGVULDIGEN met matrices ..........................................................81
7.2.4. Matrixnotatie van een stelsel ........................................................................82
7.3 Inverse van een vierkante matrix .........................................................................83
7.3.1. Gestructureerde oplossing (methode van Gauss-Jordan) ...........................83
7.3.2. Tegenvoorbeeld (inverse matrix bestaat niet, d.i. SINGULIERE MATRIX) ..84
7.3.3. Andere methode om 𝑨 − 𝟏 te berekenen (Belangrijkste methode!) .............84
7.3.4. Oefening op inverse matrix ..........................................................................85
7.4 Input-out modellen ...............................................................................................86
7.4.1. Inleidend voorbeeld ......................................................................................86
7.4.2. CONSUMPTIEVECTOR: Output – Input .....................................................87
7.4.3. Omgekeerd: Output bepalen uit Consumptie ...............................................87
7.4.4. Productieve Input-Output modellen (BELANGRIJK) ....................................88
7.4.5. Overzicht termen ..........................................................................................91
, 7.4.6. Formules ......................................................................................................91
7.4.7. Oefeningen op Input-output modellen ..........................................................92
7.5 Eigenwaarden en -vectoren: lineaire afbeeldingen ..............................................96
7.5.1. Lineaire afbeeldingen in het vlak ..................................................................96
7.5.2. De vorming van de matrix A van een lineaire afbeelding .............................96
7.5.3. Bepalen van EIGENWAARDEN ...................................................................97
7.5.1. Bepalen van EIGENVECTOR ......................................................................97
7.6 Diagonalisatie van (sommige) vierkante matrices................................................99
7.6.1. Coördinatentransformatie en matrix van lineaire afbeelding ........................99
7.6.2. Oefening op diagonalisatie ...........................................................................99
7.6.3. Oefening op bepalen van orthonormale basis ...........................................101
7.6.4. Oefening op oplossen van stelsel recursievergelijking ..............................103
8 H8: Differentiaal- en differentievergelijkingen .............................................................105
8.1 Differentievergelijking/Recursievergelijking........................................................105
8.1.1. Differentievergelijking oplossen .................................................................105
8.1.2. Oefeningen op recursievergelijkingen ........................................................106
9 Examen info + Examen aj 2020..................................................................................117
, 1 H11: Functies met 2 variabelen
1.1 Niveaukrommen
IDEE: 3D-functie omzetten naar 2D
ð Algemene vergelijking van een niveaukromme is: F(x, y) = c
ð Stelt de functie gelijk aan een c-waarde en je kan de niveaukrommen tekenen
ð Stijgend niveau aanduiden?
o Als c stijgt, naar waar verplaatsen de niveaukrommen zich dan?
o Duid dit aan met pijlen
1.2 Algemene functies
• 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃 => Rechte met rico a, snijpunt met de y-as b
5
A.V.L.
, • 𝒚 = (−)𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 => (a > 0 DALPARABOOL of a < 0
BERGPARABOOL)
ð Bergparabool (linkse grafiek): a < 0 (negatief getal)
ð Dalparabool (rechtse grafiek): a > 0 (positief getal)
1. F(x, y) = c => Kies zelf welke c’s je wil gebruiken (dit geval: 0, 1, 2 ...)
2. Vorm de formule om naar y
o c = Snijpunt y = ...
3. Teken de grafiek
4. Duid stijgend niveau aan
6
A.V.L.
, • 𝒙 = 𝒂𝒚𝟐 + 𝒃𝒚 + 𝒄 => INVERSE PARABOOL (Draai x en y om) b = 0
ð Holte naar links (rechtse grafiek): a > 0 (positief getal)
ð Holte naar rechts (linkse grafiek): a < 0 (negatief getal)
1. F(x, y) = c => Kies zelf welke c’s je wil gebruiken (dit geval: 0, 1, 2 ...)
2. Vorm de formule om naar x
o c = Snijpunt x = ...
3. Teken de grafiek
4. Duid stijgend niveau aan
7
A.V.L.
, • 𝑹𝟐 = (𝒙 − 𝒙𝑴 )𝟐 + (𝒚 − 𝒚𝑴 )𝟐 => CIRKEL: M (𝒙𝑴 , 𝒚𝑴 ) en straal R
• 𝑹𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
1. Kijk naar middelpunt (xm en ym) => Zet stip
a. In vb: (x – (-1)) + (y – 2) => x = 1 en y = -2
2. F(x, y) = c => Kies zelf welke c’s je wil gebruiken (dit geval: 1, 4 en 9)
DUS c = 𝑹𝟐
o 𝑹 = √𝒄 => Dit is dan de straal
3. Teken de grafiek
4. Duid stijgend niveau aan
8
A.V.L.
, • 𝒚 = 𝟏-𝒙 => HYPERBOOL!
1. F(x, y) = c => Kies zelf welke c’s je wil gebruiken (dit geval: c >= 0 en c =< 0)
2. Vorm de formule om naar y
3. Teken de grafiek
o Vul willekeurige x’en in om y’en te bekomen => teken deze lijnen
4. Duid stijgend niveau aan
9
A.V.L.
, 𝟐 𝒚 𝟐
• /𝒙-𝑨1 + 2 -𝑩4 = 𝟏 => ELLIPS met assen 2*A en 2*B
1. F(x, y) = c => Kies zelf welke c’s je wil gebruiken (dit geval: 1, 4 en 9)
(Uitleg van toepassing op c = 4)
2. Formule omvormen in => 1 = ... Dus / 4
o Noemer: 𝑨 . √𝟒 en 𝑩 . √𝟒
3. Vervolgens 2 * A en 2 * B
o Horizontale as 8 (= 2 * 4)
§ = Breedte dus van -6 tot 6 op x-as
o Verticale as 20 (= 2 * 10)
§ = Hoogte dus van -15 tot 15 op y-as
4. Teken de grafiek
o Vul willekeurige x’en in om y’en te bekomen => teken deze lijnen
5. Duid stijgend niveau aan
10
A.V.L.
Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:
Qualité garantie par les avis des clients
Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.
L’achat facile et rapide
Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.
Focus sur l’essentiel
Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.
Foire aux questions
Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?
Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.
Garantie de remboursement : comment ça marche ?
Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.
Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?
Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur arnovln. Stuvia facilite les paiements au vendeur.
Est-ce que j'aurai un abonnement?
Non, vous n'achetez ce résumé que pour €8,39. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.
