Resume
Samenvatting Wiskunde
- Cours
- Wiskunde (D012698A)
- Établissement
- Universiteit Gent (UGent)
Samenvatting van ppt en cursus + veel formulariums
[Montrer plus]
1 vérifier
Par: charlotteroose • 3 année de cela
Aperçu du contenu
Wiskunde1. Reële functies
1.1. Basisbegrippen
1.1.1. Functie en functievoorschrift
Definitie:
Een functie f is een relatie tussen twee verzamelingen X en Y, zodat
met ieder element x ∈ X juist één element y ∈ Y gekoppeld.
Notaties:
• Functie f: X -> Y
- X: definitiegebied def(f)
- Y: beeld im(f)
• Functievoorschrift y = f(x)
- x: argumennt
- y: functiewaarde in punt x
• Reële functie f: X = def(f) ∈ ℝ
Y = ℝ, im(f) ∈ ℝ
1.1.2. Definitiegebied en beeld
Definitie
Gegeven een functie f:X -> Y, dan is
• Verzameling X van x-waarden: het definitiegebied van f,
genoteerd als def(f)
• Verzameling Y waarin y waarden aanneemt: het codomein van f
• Deelverzameling van Y die bestaat uit de beelden v.d. elementen
van X: het beeld van f, genoteerd als im(f)
1.1.3. Grafische voorstelling
Orthogonaal assenstelsel: x-as ⊥ y-as
y = f(x) → punten met coördinaten: (x,y) = (x, f(x))
, 1.1.4. Stijgen en dalen
Functie f gedefinieerd in interval l:
f stijgend: grotere x-waarden afgebeeld op grotere y-waarden
f dalend: grotere x-waarden afgebeeld op kleinere y-waarden
f stijgend in l als ∀ x1<x2 in l geldt: f(x1) ≤ f(x2)
f dalend in l als ∀ x1<x2 in l geldt: f(x1) ≥ f(x2)
f strikt stijgend als ∀ x1<x2 in l geldt: f(x1) < f(x2)
f strikt dalend als ∀ x1<x2 in l gelft: f(x1) > f(x2)
Definitie:
Een functie wordt (strikt) stijgend/dalend genoemd indien ze
stijgend/dalend is in gans het definitiegebied.
1.1.5. Bijzondere punten
Nulpunt
Een nulpunt v.e functie f is een punt x0 ∈ def(f) waarvoor geldt dat f(x0)=0
Oplossen door f(x)=0
Globaal extrema
Een functie f bereikt een globaal maximum in x0 als ∀ x in def(f) geldt dat
f(x0) ≥ f(x).
Een functie f bereikt een globaal minimum in x0 als ∀ x in def(f) geldt dat
f(x0) ≤ f(x).
Oplossen door f’(x)=0
Lokaal extrema
Een functie f bereikt een lokaal maximum in x0 als er een 𝛿 > 0 bestaat
zodanig dat f(x0) ≥ f(x) ∀ x-waarden die ∈ ]x0-𝛿, x0+ 𝛿[ ∩ def(f)
Een functie f bereikt een lokaal minimum in x0 als er een 𝛿 > 0 bestaat
zodanig dat f(x0) ≤ f(x) ∀ x-waarden die ∈ ]x0-𝛿, x0+ 𝛿[ ∩ def(f)
Oplossen door f’’(x)=0
,1.1.6. Even, oneven en periodieke functies
Een functie f wordt even genoemd als voor elke x v. def(f) geldt dat:
f(x) = f(-x)
Een functie wordt oneven genoemd als voor elke x v. def(f) geldt dat:
f(x) = -f(-x)
Grafiek is punt symmetrisch t.o.v. oorsprong
f(0)=0
Bestaat er een vast getal 𝜔 ∈ ℝ, zodanig dat ∀ x ∈ def(f) waarvoor ook
x+ 𝜔 ∈ def(f), geldt dat:
f(x+ 𝜔) = f(x)
Dan heet de functie f periodiek met periode 𝜔.
Grafisch: functiekromme herhaalt na elk interval met breedte 𝜔
Grafiek met periode 𝜔: door f te tekenen in interval [x0,x0+ 𝜔]
1.1.7. Inverse van een functie
De inverse relatie v.e. functie f, genoteerd als f-1, is gedefinieerd door:
(x0,y0) ∈ f-1 als en slechts als (x0,y0)
Inverse relatie niet altijd functie!
Als ∀ x1 ≠ x2 dan geldt dat f(x1) ≠ f(x2), dan is f-1 functie
Grafiek f en f-1 symmetrisch
Def(f-1) = im(f)
1. Inverse v.e. lineaire functie = lineaire functie
f(x) = ax + b a≠0
y = f-1(x)
x = f(y)
x = ay + b
1 𝑏
y = 𝑎x – 𝑎
, 2. Inverse v.e. kwadratische functie ≠ functie
f(x) = ax2 + bx + c a≠0
vb. f(x)=x2 y = f-1(x)
x = f(y)
x = y2
y = √𝑥 of y = -√𝑥
3. Inverse v.e. kwadratische functie met beperkt def.gebied = functie
f(x) = ax2 + bx + c a≠0
vb. f(x)=x2, x≥0 y = f-1(x)
x = f(y)
x = y2
y = √𝑥
1.2. Veeltermfuncties
Een veeltermfunctie is een f van de vorm…
y = f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a0, an ≠ 0
…waarbij de graad n v.d. veeltermfunctie 𝜖 ℕ, de coëfficiënten a0, a1,…,an
𝜖 ℝ en def(f) = ℝ.
Constante functie: n=0 dus graad 0 → y = a0
Elke x-waarde dezelfde y-waarde
Rechte door (0,a0) \\ x-as
Geen nulpunten
Lineaire functie: n=1 dus graad 1 → y = a1x + a0
a1 ≠ 0
Rechte met 1 nulpunt
Snijpunten met assen (-a0/a1, 0) en (0,a0)
Kwadratische functie: n=2 dus graad 2 → y = a2x2 + a1x + a0
a2 ≠ 0
parabool met 1,2 of geen nulpunten
Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:
Qualité garantie par les avis des clients
Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.
L’achat facile et rapide
Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.
Focus sur l’essentiel
Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.
Foire aux questions
Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?
Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.
Garantie de remboursement : comment ça marche ?
Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.
Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?
Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur mltmdk. Stuvia facilite les paiements au vendeur.
Est-ce que j'aurai un abonnement?
Non, vous n'achetez ce résumé que pour €10,49. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.
Peut-on faire confiance à Stuvia ?
4.6 étoiles sur Google & Trustpilot (+1000 avis)
53340 résumés ont été vendus ces 30 derniers jours
Fondée en 2010, la référence pour acheter des résumés depuis déjà 14 ans