Statistiek voor pedagogen 2 AJ 2020-2021 Prof. Eva Ceulemans & Wim van Dooren
Kansrekening
Toeval
Een verschijnsel is een toevalsverschijnsel als:
- De individuele uitkomsten onzeker zijn
- Bij een groot aantal herhalingen regelmatige verdelingen van uitkomsten aanwezig is
Kans → De fractie keren dat de gebeurtenis voorkomt wanneer het toevalsverschijnsel heel veel keer herhaald
wordt.
Soms kan er ook een alternatief zijn: iedere uitkomst heeft een vooraf gekende kans
Voorbeeld: dobbelspel, een munt opgooien
Kansmodellen
Kansmodel → beschrijving van een toevalsverschijnsel:
- Lijst van mogelijke uitkomsten
- Kans voor elke uitkomst
Belangrijke begrippen
Uitkomstenruimte S → De verzameling van alle mogelijke uitkosten van een toevalsverschijnsel
Voorbeelden:
- Werp 2 dobbelstenen en neem de som van het aantal ogen: S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
- Werp een muntstuk op: S = {Kop, Munt}
- Kies een cijfer van 0 tot 9: S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
- Gooi een muntstuk 2x op en tel het aantal keer kop: S = {0, 1, 2}
- Trek een kaart en noteer de soort: S = {Harten, Schoppen, Ruiten, Klaveren}
Gebeurtenis A → Een deelverzameling van de uitkomstenruimte
Voorbeelden:
- Werp 2 dobbelstenen en neem de som van het aantal ogen. De gebeurtenis ‘student’ wint: A = {2, 3, 4,
9, 10, 11, 12}.
- Gooi een muntstuk 2x op en tel het aantal keer kop. De gebeurtenis
‘meer dan 1 keer kop’: A = {2}
Kans → De kans P(A) van een gebeurtenis A is de fractie keren dat de
gebeurtenis voorkomt wanneer het toevalsverschijnsel heel veel keer herhaald wordt; hierbij is de kans op A
gelijk aan de som van de kansen op de uitkomsten waaruit A bestaat.
Voorbeelden:
- Werp een dobbelsteen. De gebeurtenissen ‘1’, ‘2’, ‘3’, ‘4’, ‘5’, ‘6’ hebben allemaal een kans van 1/6.
- Werp een zuiver muntstuk op. Gebeurtenissen ‘kop’ en ‘munt’ hebben elk een kans van 0,5.
Complement Ac van gebeurtenis A → verzameling van alle uitkomsten die niet tot A behoren.
Voorbeelden:
- Werp 2 dobbelstenen en neem de som van het aantal ogen. De gebeurtenis ‘student wint’: A = {2, 3, 4,
9, 10, 11, 12}
o → Ac = {5, 6, 7, 8} = prof wint
- Gooi een muntstuk 2x op en tel het aantal keer munt. De gebeurtenis
‘meer dan 1 keer munt’: A = {2} → Ac = {0, 1}
Complementen = ALTIJD disjunct.
1
,Statistiek voor pedagogen 2 AJ 2020-2021 Prof. Eva Ceulemans & Wim van Dooren
Disjunctie van gebeurtenissen → A en B zijn disjunct als ze geen gemeenschappelijke uitkomst hebben, met
andere woorden als hun doorsnede leeg is.
Voorbeelden:
- Werp 2 dobbelstenen en neem de som van het aantal ogen. De gebeurtenis ‘student wint’ en ‘prof
wint’ zijn disjunct
➔ A en Ac zijn ALTIJD disjunct!!!!
- Gooi een muntstuk 2x op en tel het aantal keer kop. De
gebeurtenissen ‘minder dan 1 keer kop’ en ‘meer dan 1 keer kop’ zijn
disjunct.
Disjuncten ≠ altijd complementair
Disjuncten = ALTIJD afhankelijk
Voorwaardelijke of conditionele kans P(B|A) → Kans op gebeurtenis B, gegeven dat gebeurtenis A optreedt.
Voorbeelden:
- Werp 2 dobbelstenen en neem de som van het aantal ogen. Gebeurtenis A = ‘student wint’ en
gebeurtenis B = ‘even getal’.
➔ Wat is de kans dat de student wint, als je weet dat het getal even is? P(A|B) = 8/18
- Trek 2 kaarten (ZTL) uit een pak kaarten. Gebeurtenis A = ‘1e kaart is aas’ en gebeurtenis B = ‘2e kaart
is aas’.
➔ Wat is de kans dat de tweede kaart aas is, als de eerste kaart aas is? P (B|A) = 3/51
Onafhankelijkheid van gebeurtenissen → A en B zijn onafhankelijk als kennis over het al dan niet optreden van
de ene geberutenis de kans die we aan de andere gebeurtenis toekennen niet verandert. → P(B|A) = P(B)
Voorbeelden:
- Werp twee dobbelstenen op en neem de som van het aantal ogen. Gebeurtenis A = ‘student wint’ en
gebeurtenis B = ‘even getal’
➔ Wat is de kans dat de student wint, als je weet dat het getal even is = P(A|B) = 8/18 = Kans dat de student
wint = P(A) = 16/36 => onafhankelijkheid
- Kennis over het geslacht van het eerste kind verandert niets aan de kans op een jongen/meisje bij het
tweede kind. Gebeurtenissen ‘eerste kind is meisje’ en ‘tweede kind is onafhankelijk’.
Afhankelijke gebeurtenissen → A en B zijn afhankelijk als kennis over het al dan niet optreden van de ene
gebeurtenis de kans die we aan de andere gebeurtenis toekennen wel verandert. → P(B|A) ≠ P(B)
Voorbeelden:
- Werp 2 dobbelstenen en neem de som van het aantal ogen. Gebeurtenis A = ‘student wint’ en
gebeurtenis B = ‘getal groter dan 7’.
➔ Wat is de kans dat de student wint, als je weet dat het getal > 7 = P(A|B) = 10/15
≠ Kans dat de student wint = P(A) = 16/26
Als A en B onafhankelijk zijn, dan zijn Ac en Bc eveneens onafhankelijk en is Ac onafhankelijk van B.
Basisregels voor kansen
0 ≤ P(A) ≤ 1
De kans ligt altijd tussen 0 en 1.
P(S) =1
P(Ac) = 1 – P(A)
Complementregel
A en B hebben niets gemeenschappelijks (ze zijn disjunct)
A en B zijn onafhankelijk
2
,Statistiek voor pedagogen 2 AJ 2020-2021 Prof. Eva Ceulemans & Wim van Dooren
Complementregel
Voorbeeld
Twee dobbelstenen: kans dat ‘prof wint’ = 1 – kans dat ‘student wint’
P(Ac) = 1– P(A) = 1 – =
Optelregel
Kans op A of B = kans op A plus kans op B, als A en B niets gemeenschappelijks hebben.
Voorbeeld
Gooi een muntstuk 2x op en tel het aantal keren kop: wat is de kans dat ‘meer dan 1 keer kop’ OF ‘minder dan
1 keer kop’ is?
Productregel
Kans op A en B = kans op A maal kans op B, als A en B onafhankelijk zijn.
Voorbeeld
Twee dobbelstenen: wat is de kans dat ‘student wint’ EN dat ‘even getal’
is?
Algemene optelregel
Wat als
Er is geen sprake van disjunctie.
Dan gaan we voor de algemene optelregel.
Algemene productregel
Wat indien P(B|A) ≠ P(B)?
Er is geen sprake van onafhankelijkheid.
Dan gebruiken we de algemene productregel.
Boomdiagrammen
Sommige problemen in kansrekening vereisen het
combineren van verschillende basisregels.
Voorbeeld
5% van de Vlamingen tussen de 25 en 30 jaar is
vegetariër. Indien iemand in deze leeftijdscategorie
vegetariër is, is er 28% kans dat hij/zij een auto
3
, Statistiek voor pedagogen 2 AJ 2020-2021 Prof. Eva Ceulemans & Wim van Dooren
bezit. 51,6% van de Vlamingen tussen 25 en 30 jaar bezit wel een auto. Hoeveel % van de Vlamingen bezit een
auto?
Stap 1: Benoem je gebeurtenissen A en B.
A = Vegetariër zijn
B = Een auto bezitten
Stap 2: Noteer wat gegeven en gevraagd is.
Gegeven:
P(A) = 0,05
P(B|A) = 0,28
Gevraagd:
P(B) = ?
Stap 3: Maak een boomdiagram en vul de kansen in die je
hebt.
Stap 4: Vul de ontbrekende kansen in.
- Complementregel
- Productregel
- Gezamenlijke kansen tellen op tot basiskansen
Complementregel Productregel
Gezamenlijke kansen tellen op tot basiskansen
4
