Resume
Samenvatting Wiskunde: Matrices
- Établissement
- Universiteit Antwerpen (UA)
Alle te kennen definities en bewijzen van het boek 'Matrices' van Ida Ruts.
[Montrer plus]
1 vérifier
Par: nabilaasi • 4 année de cela
parfait
Aperçu du contenu
1 ba-SEW wiskundige methoden & technieken: B2Wiskundige methoden en technieken
Matrices
A. Eigenschappen
Hoofdstuk 1: inleiding
1. Matrices
Het product van 2 matrices is niet commutatief, er geldt:
A.B≠B.A
=> want (m x n) x (n x k) ≠ (n x k) x (m x n)
Het product van matrices is associatief, er geldt:
A . (B . C) = (A . B) . C
=> want: (m x k)[(k x l)(l x n)]
= [(m x k)(k x l)](l x n)
Het product van matrices is distributief t.o.v. de optelling, er geldt:
A . (B + C) = A . B + A . C
=> want: (m x k)[(k x n) + (k x n)]
= [(m x k)(k x n)] + [(m x k)(k x n)]
De vermenigvuldiging van een matrix met een nulmatrix, er geldt:
A.0=0.A=0
=> ordes van nulmatrices verschillen !
(m x n).(n x n) = (m x m) . (m x n)(m x n)
De vermenigvuldiging van een matrix met een eenheidsmatrix, er geldt:
A.I=I.A=A
=> ordes van eenheidsmatrices verschillen!
(m x n).(n x n) = (m x m) . (m x n) = (m x n)
2. Transponeren
Idempotentie
T
=A
Uitsplitsen van getransponeerde matrices
- Voor twee matrices van dezelfde orde geldt:
(A + B)’ = A’ + B’
- Voor elke matrix en elk scalair geldt:
(
Getransponeerde van een product
(A . B) ‘ = B’ . A’
=> bekijken via orders:
[(m x k).(k x n)]’ = (k x n)’ . (m x k)’
of
(n x m) = (n x m)
1
,1 ba-SEW wiskundige methoden & technieken: B2
3. Speciale producten
Rij x kolom = getal
Kolom x rij = matrix
=> (m x 1) . (1 x n) = (m x n)
Matrix x kolom = kolom
Kolom x matrix = /
Rij x matrix = rij
Matrix x rij = /
Hoofdstuk 2: determinanten
4. Eigenschappen van determinanten
Wanneer een matrix een nulrij / nulkolom bevat, dan is zijn determinant 0
Wanneer 2 rijen / kolommen van plaats verwisselen, dan verandert de
determinant van teken (- of +)
Wanneer een matrix 2 identieke rijen / kolommen bevat, dan is de
determinant 0
Wanneer een rij of kolom vermenigvuldigd wordt met een factor , dan
wordt ook de determinant met dezelfde factor vermenigvuldigd
Wanneer alle elementen van een (n x n) matrix vermenigvuldigd worden
met een factor , dan wordt de determinant met factor n vermenigvuldigd
Determinanten kunnen opgesplitst worden volgens een rij of kolom
Vb;
= +
Wanneer men in een matrix bij een rij/kolom een aantal keren een andere
rij/kolom optelt, dan blijft de determinant onveranderd
Wanneer een rij/kolom een lineaire combinatie is van andere rijen of
kolommen van de matrix, dan is de determinant 0.
De determinant van de getransponeerde matrix = determinant van de
oorspronkelijke matrix
=> Det A = det A’
De determinant van het product van 2 vierkante matrices met dezelfde orde
= product van de determinanten van de matrices afzonderlijk
=> det (A . B) = det A . det B
= det (B . A)
2
, 1 ba-SEW wiskundige methoden & technieken: B2
Hoofdstuk 3: inverse
5. Definitie van een inverse matrix
Men noemt een vierkante matrix A regulier als det A ≠ 0
er bestaat een inverse matrix voor A en omgekeerd
inverse matrixen zijn uniek
Men noemt B een inverse matrix van A als B . A = A . B = I
6. Eigenschappen inverse matrix
Inverse van product van 2 matrices = omgekeerde product van inversen
van de matrix afzonderlijk:
(A . B)-1 = B-1 . A-1
Determinant van inverse van matrix = omgekeerde van de determinant van
de matrix zelf:
2x inverteren = nul-operatie
=A
De volgorde van de operaties ‘inverteren’ en ‘transponeren’ is willekeurig
=
Wanneer een scalair wordt buiten gebracht uit een inverse, moet hij worden
omgekeerd
De inverse matrix van een symmetrische matrix is terug symmetrisch
De inverse matrix van een diagonaalmatrix is terug een diagonaalmatrix
maar met omgekeerde elementen
De inverse matrix van een bovendriehoeksmatrix is terug een
bovendriehoeksmatrix
De inverse matrix van een benedendriehoeksmatrix is terug een
benedendriehoeksmatrix
De inverse van een macht van een matrix = dezelfde macht van de inverse
van de matrix
=> kan ook geschreven worden als
Twee vierkante nuldelers hebben altijd determinant 0
als A . B = 0 met A ≠ 0 en B ≠ 0
dan is det A = 0 en det B = 0
3
Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:
Qualité garantie par les avis des clients
Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.
L’achat facile et rapide
Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.
Focus sur l’essentiel
Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.
Foire aux questions
Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?
Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.
Garantie de remboursement : comment ça marche ?
Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.
Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?
Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur SaschaV. Stuvia facilite les paiements au vendeur.
Est-ce que j'aurai un abonnement?
Non, vous n'achetez ce résumé que pour €3,58. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.
Peut-on faire confiance à Stuvia ?
4.6 étoiles sur Google & Trustpilot (+1000 avis)
56326 résumés ont été vendus ces 30 derniers jours
Fondée en 2010, la référence pour acheter des résumés depuis déjà 14 ans