Wiskundige methoden en
technieken
Boek 1
H1: Reële functies van één veranderlijke
1.1 Getallenverzamelingen
Deelverzamelingen van de reële getallen:
Natuurlijke getallen: N= { 0,1,2,3 ,... }
Gehele getallen: Z={ ... ,−3 ,−2,−1,0,1,2,3 ,... }
Rationale getallen: Q= {mn ; m∈ Z en n ∈ Z } 0
3 14
vb: =0,06 en =1,272727.. .
50 11
Irrationale getallen: R ∖ Q dus √ 2 , π , .. .
Opmerking: N ⊂ Z ⊂Q⊂ R
De verzameling R is gesloten voor de optelling, aftrekking, vermenigvuldiging en deling (niet bij nul).
+¿= { X ∈ R : X ≥0 }=¿¿
R
+¿= { X ∈ R : X > 0}=¿0 ,+∞ ¿ ¿
R0
R0 =¿−∞ , 0 [∪]0 ,+ ∞ ¿
1.2 Rekenregels
1.2.1 Rekenregels voor breuken
a
Algemene vorm van een breuk: met a teller en b noemer, voorwaarde b ≠ 0.
b
a c a+c
o + =
Som: b ≠0
b b b
a c ad +bc
+ = b≠0
b d bd
a c ac
o Product: . = b ≠ 0 en d ≠ 0
b d bd
a
a c b a d ad
o Quotiënt: : = = . = b ≠ 0, c ≠ 0 en d ≠ 0
b d c b c bc
d
Delen door een breuk is hetzelfde als vermenigvuldigen met de omgekeerde breuk.
Let op!
1 1 1 a+b a
+ ≠ en ≠
a b a+b c +b c
Dore Blockx Sociaal-economische wetenschappen
,1 1 1
− ≠
a b a−b
1.2.2 Rekenregels voor machten
Voor m∈ N geldt: a m=a . a . a ... a met m ≠ 0 en m ≠ 1
o Negatieve exponent:
1
a−n= met a ≠ 0 en n ∈ N
an
o Product of quotiënt met zelfde grondtal:
m
a m−n n
m
a . a =a
n m+n
en n
=a en ( a m ) =am .n
a
o Product of quotiënt met zelfde exponent:
n n n an a n
a . b =(a .b) en =( )
bn b
o Als de exponent een breuk is:
1
a n =√n a met a > 0 indien n even is (n∈ N )
m
a n =√ am met a > 0 indien n even is (n ∈ N )
n
Let op!
√n a+b ≠ √n a+ √n b en √n a−b ≠ √n a−√n b
n n n n n n
(a+ b) ≠ a + b en (a−b) ≠ a −b
1.2.3 Faculteit
Definitie:
n !=1.2.3 ..... n(n ∈ N 0)0! = 1
vb: 5! = 1.2.3.4.5 = 120
Opmerking:
Je kan geen faculteit nemen van een negatief getal, enkele van positieve natuurlijke getallen.
1.2.4 Combinaties
Definitie:
Een combinatie of binomiaalcoëfficiënt van k elementen genomen uit een groep van n elementen
(n ≥ k) wordt gedefinieerd als:
n!
(nk)= k !.(n−k)!
5! 1.2.3 .4 .5
vb: (52 )= 2 ! .(5−2)! =
1.2 .1.2 .3
=10
Dore Blockx Sociaal-economische wetenschappen
,1.3 Somsymbool en productsymbool
1.3.1 Somsymbool
Definitie:
n
∑ x i=x m + x m +1+...+ x n−1 + x n met m≤ n
i=m
Hierbij is i de sommatie-index, m is de ondergrens en n is de bovengrens, de stapgrootte is altijd 1.
7
i 4 5 6 7
vb: ∑ k =k +k + k +k
i=4
1.3.2 Productsymbool
Definitie:
n
∏ xi =x m . x m+1 .... . x n−1 . xn met m≤ n
i=m
Hierbij is i de productie-index, m is de ondergrens en n is de bovengrens, de stapgrootte is altijd 1.
7
i 4 5 6 7 22
vb: ∏ k =k . k . k . k =k
i=4
1.4 Kernbegrippen i.v.m. functies
1.4.1 Definities
Definitie:
Een reële functie f is een voorschrift dat aan elk element van een verzameling A ⊂ R een element
van een verzameling B⊂ R toekent:
Notatie: f : A → B : x ↦ f ( x ) of f : R → R : x ❑ ↦f ( x )
De verzameling A noemt men het domein of definitiegebied, dit is de verzameling van alle x-waarden
waarvoor een beeld f(x) bestaat.
Notatie: { x :f ( x ) ∈ R }
De verzameling B noemt men het bereik of beeldgebied, dit is de verzameling van alle beelden f(x).
Notatie: { y ∈ R : y=f ( x )met x ∈ dom f }
Definitie:
Een functie is éénwaardig wanneer met elke waarde van de onafhankelijke veranderlijke uit het
domein juist één waarde van de afhankelijke veranderlijke overeenstemt.
Een functie is meerwaardig wanneer met een waarde van de onafhankelijke veranderlijke uit het
domein 2 of meerdere waarden van de afhankelijke veranderlijke overeenstemmen.
Definitie:
Een functie is éénduidig wanneer met elke waarde van de afhankelijke veranderlijke uit het
beeldgebied juist één waarde van de onafhankelijke veranderlijke overeenstemt.
Een functie is meerduidig wanneer met een waarde van de afhankelijke veranderlijke uit het
beeldgebied 2 of meerdere waarden van de onafhankelijke overeenstemmen.
Dore Blockx Sociaal-economische wetenschappen
, Definitie:
Men spreekt van een expliciete voorstelling van de functie f : R → R , wanneer het voorschrift
geëxpliciteerd is naar de afhankelijke veranderlijke m.a.w. y=f (x ).
=> y staat links, x staat rechts
Men spreekt van een impliciete voorstelling van de functie f : R → R , wanneer het voorschrift niet
geëxpliciteerd is naar de afhankelijke veranderlijke, maar impliciet bepaald wordt uit een verband
F ( xy )=0.
Weetje: Reële functies worden grafisch voorgesteld door een curve in het xy-vlak, waarbij de
horizontale as (x-as) gebruikt wordt voor de onafhankelijke veranderlijke en de verticale as (y-as)
voor de afhankelijke veranderlijke.
Definitie:
een reële functie g : R → R : x ↦ g ( x ) is een stuksgewijs gedefinieerde functie indien het voorschrift
verschilt voor verschillende delen van het domein van de functie.
1.4.2 Symmetrieën
Definitie:
Een reële functie f : R → R : x ↦ f ( x ) is een even functie, indien voor elke waarde x uit het domein
geldt: f(-x) = f(x) (spiegeling t.o.v. y-as)
Een reële functie f : R → R : x ↦ f ( x ), is een oneven functie, indien voor elke waarde x uit het domein
geldt: f(-x) = -f(x) (spiegeling t.o.v. oorsprong)
1.4.3 Inverse functie
Definitie:
een reële functie g : R → R : x ↦ g ( x ) is de inverse functie van f : R → R : x ↦ f ( x ) , indien voor elke
waarde x uit het domein van f geldt:
f ( x )= y ⇔ g ( y ) =x
Meestal noteert men de inverse functie als g=f −1
De functies f en f −1 wisselen de rollen van x en y (als f x afbeeldt op y, dan zal f −1 y afbeelden op x).
1.4.4 Samenstellen van functies
Definitie:
een reële functie h : R → R : x ↦ h ( x ) is een samenstelling van functies g : R → R : x ↦ g ( x ) na
f : R → R : x ↦ f ( x ), of
h=g° h
indien voor elke waarde van x geldt h ( x )=( g ° f ) ( x )=g ( f ( x ) ).
1.5 limietwaarde
Definitie:
Een functie f : R → R : x ↦ f ( x ) bereikt in het punt x = a de limietwaarde L, of lim
x→ a
f ( x )=L.
Als de functiewaarden f(x) willekeurig dicht bij L komen voor punten x die dicht naar a naderen.
In deze definitie mag het niet uitmaken of de punten x langs links of recht naar a naderen.
Dore Blockx Sociaal-economische wetenschappen
