Garantie de satisfaction à 100% Disponible immédiatement après paiement En ligne et en PDF Tu n'es attaché à rien
logo-home
Samenvatting eigenschappen en stellingen: Hogere Wiskunde 1 €8,99   Ajouter au panier

Resume

Samenvatting eigenschappen en stellingen: Hogere Wiskunde 1

2 revues
 335 vues  24 fois vendu

Dit is een samenvatting van alle eigenschappen stellingen die gekend moeten zijn voor het examen Hogere Wiskunde 1.

Aperçu 4 sur 38  pages

  • 21 novembre 2021
  • 38
  • 2021/2022
  • Resume
Tous les documents sur ce sujet (2)

2  revues

review-writer-avatar

Par: julesverbeeck • 10 mois de cela

review-writer-avatar

Par: richardvandeuren • 1 année de cela

avatar-seller
amelie_vd
Hoofdstuk I: “De bouwstenen”
I.1 Wiskundige taal, notaties en bewijzen
Definitie: nieuwe verzamelingen uit twee verzamelingen A en B
❖ Unie = de verzameling van objecten die behoren tot A of B.
➢ A ⋃ B = {x | x ϵA of x ε B}

❖ Doorsnede = de verzameling van objecten die behoren tot A en B.
➢ A ∩ B = {x | x ε A en x ε B}

❖ Verschil = de verzameling van objecten die behoren tot A maar niet tot B.
➢ A\B = {x | x ε A en x ∉ B}

❖ Cartesiaans product = de productverzameling van de koppels (= geordende
tweetallen (a,b)) waarbij a behoort tot A en b behoort tot B.
➢ A X B = {x | a ε A en b ε B}



Propositie: basiseigenschappen van orde en vermenigvuldiging in R
1) Voor alle reële getallen x, y en z geldt: als x < y en y < z, dan is x < z

2) Voor alle reële getallen x, y en z geldt: als x < y en z > 0 dan is xz < yz



Regels voor het bewijzen
Directe bewijzen
Bewering die begint met ∃ (“er bestaat een”) → geef een expliciet voorbeeld
Bewering die begint met ∀ (“voor alle geldt”) → begin met “Kies een willekeurige …”

Bewijzen door gevalsonderscheid → gevallen onderscheiden

Bewijzen door contrapositie
Om uitspraak p ⇒ q te bewijzen, is het soms handiger om (niet p) ⇒ (niet q) te bewijzen.

Bewijzen uit het ongerijmde
Veronderstel dat het te bewijzene niet waar is en leidt zo een contradictie af.

Bewijzen met inductie
1) Start: 1 ϵ S
2) Inductiehypothese
3) Inductiestap




1

,I.2 Getallenverzamelingen
De structuur van Q
Eigenschappen van de optelling in Q
1) + is associatief: COMMUTATIEVE
∀𝑥, 𝑦, 𝑧: (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) GROEP
2) 0 is neutraal element: ∀𝑥: 𝑥 + 0 = 𝑥 = 0 + 𝑥
3) ∀𝑥, ∃𝑦: 𝑥 + 𝑦 = 0 = 𝑦 + 𝑥
4) + is commutatief: ∀𝑥, 𝑦: 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥

Eigenschappen van de vermenigvuldiging in Q
5) ・is associatief: ∀𝑥, 𝑦, 𝑧: (𝑥𝑦) 𝑧 = 𝑥 (𝑦𝑧) COMMUTATIEVE
6) 0 is neutraal element: ∀𝑥: 𝑥1 = 𝑥 = 1𝑥 GROEP
7) ∀𝑥, ∃𝑦: 𝑥𝑦 = 1 = 𝑦𝑥
8) ・is commutatief: ∀𝑥, 𝑦: 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥

Eigenschap die ・verbindt met + 1→9
9) ・is distributief tov +: VELD
∀𝑥, 𝑦, 𝑧: 𝑥(𝑦 + 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧)

Eigenschappen die de bewerkingen verbinden met de orde 1 → 11
10) ∀𝑥, 𝑦, 𝑧: 𝑥 ≤ 𝑦 ⇒ 𝑥 + 𝑧 ≤ 𝑦 + 𝑧
11) ∀𝑥, 𝑦, 𝑧: (𝑥 ≤ 𝑦 𝑒𝑛 0 ≤ 𝑧) ⇒ 𝑥𝑧 ≤ 𝑦𝑧 GEORDEND VELD

Eigenschap verschil tussen orde op N en Z en die op Q TOTAAL GEORDEND
12) ∀𝑥, 𝑦: 𝑥 ≤ 𝑦 𝑜𝑓 𝑦 ≤ 𝑥 VELD

Eigenschap verschil tussen orde op N en Z en die op Q DICHT TOTAAL
12) ∀𝑥, 𝑦 𝑚𝑒𝑡 𝑥 < 𝑦, ∃𝑧: 𝑥 < 𝑧 < 𝑦 GEORDEND VELD



Proposities: begrensdheid van een niet-lege deelverzameling A
❖ A is naar boven begrensd door x: ∀𝑎 ε 𝐴: 𝑎 ≤ 𝑥 Als A een majorant en minorant
❖ A is naar onder begrensd door x: ∀𝑎 ε 𝐴: 𝑥 ≤ 𝑎 heeft, noemen we ze begrensd.

❖ A heeft een maximum M: ∀𝑎, 𝑀 ϵ 𝐴: 𝑎 ≤ 𝑀 Een max. en min. moeten tot A
❖ A heeft een minimum m: ∀𝑎, 𝑚 ϵ 𝐴: 𝑚 ≤ 𝑎 behoren.

❖ A heeft een infimum als A een grootste Als A een max. en min. heeft of
ondergrens heeft. begrensd is, dan heeft A een
❖ A heeft een supremum als A een kleinste infimum en een supremum.
bovengrens heeft. Omgekeerd geldt dit niet.




2

,Propositie: de structuur van R
R heeft de supremumeigenschap R is het enige
12) dat hieraan
∀𝐴 𝑐 𝑅, 𝐴 ≠ φ, 𝐴 𝑖𝑠 𝑛𝑎𝑎𝑟 𝑏𝑜𝑣𝑒𝑛 𝑏𝑒𝑔𝑟𝑒𝑛𝑠𝑑 ⇒ 𝑠𝑢𝑝(𝐴) 𝑏𝑒𝑠𝑡𝑎𝑎𝑡 𝑖𝑛 𝑅 voldoet.
12)
∀𝐴 𝑐 𝑅, 𝐴 ≠ φ, 𝐴 𝑖𝑠 𝑛𝑎𝑎𝑟 𝑜𝑛𝑑𝑒𝑟 𝑏𝑒𝑔𝑟𝑒𝑛𝑠𝑑 ⇒ 𝑖𝑛𝑓(𝐴) 𝑏𝑒𝑠𝑡𝑎𝑎𝑡 𝑖𝑛 𝑅



Definitie: de verzameling Q in R
Q is dicht in R: 𝐴𝑙𝑠 𝑥, 𝑦 ϵ 𝑅 𝑒𝑛 𝑥 < 𝑦, 𝑑𝑎𝑛 𝑏𝑒𝑠𝑡𝑎𝑎𝑡 𝑒𝑟 𝑒𝑒𝑛 𝑞 ϵ 𝑄 𝑧𝑜𝑑𝑎𝑡 𝑥 < 𝑞 < 𝑦.



Definitie: Binomium van Newton
Als 𝑎, 𝑏 ϵ 𝑅 𝑒𝑛 𝑛 ϵN0. Dan is



Binominiaalcoëfficiënt:




Propositie: eigenschap voor Binomium van Newton




3

, Definitie: intervallen
Interval = een niet lege deelverzameling I van R waarvoor elk element van R dat tussen
twee elementen van I ligt, tot I behoort.
❖ 𝐴𝑙𝑠 𝑧 ϵ 𝑅 𝑒𝑛 𝑥, 𝑦 ϵ 𝐼 𝑧𝑜𝑑𝑎𝑡 𝑥 ≤ 𝑧 ≤ 𝑦, 𝑑𝑎𝑛 𝑚𝑜𝑒𝑡 𝑧 ϵ 𝐼.

1) Open interval = als A leeg is of als er rond elk punt 𝑎 ϵ 𝐴 een open interval bestaat
dat helemaal in A ligt.
❖ 𝐴𝑙𝑠 𝑒𝑟 𝑣𝑜𝑜𝑟 𝑒𝑙𝑘𝑒 𝑎 ϵ 𝐴 𝑒𝑒𝑛 δ > 0 𝑏𝑒𝑠𝑡𝑎𝑎𝑡 𝑧𝑜𝑑𝑎𝑡 ]𝑎 − δ, 𝑎 + δ[ ⊆ 𝐴.

2) Gesloten interval = als en slechts als R\A open is.



Propositie: oefening 4 (p32)
Als A naar beneden begrensd is, dan is -A naar boven begrensd en sup(-A) = -inf(A).



Propositie: oefening 6 (p32)
❖ 𝐴𝑙𝑠 𝑎 ≤ 𝑏 𝑒𝑛 0 ≤ 𝑐, 𝑑𝑎𝑛 𝑖𝑠 𝑎𝑐 ≤ 𝑏𝑑.
❖ 𝐴𝑙𝑠 𝑎 ≤ 𝑏, 𝑑𝑎𝑛 𝑖𝑠 − 𝑎 ≥ − 𝑏.



Algebraïsche structuur van Rn (op natuurlijke manier rekenen)
Definitie: vectorruimte
V is een vectorruimte over R. Rn is dus een vectorruimte over R. De elementen van Rn
noemt men daarom ook vectoren.



Definitie: de basis van Rn
Standaardbasisvectoren in Rn




Lineaire combinatie van de vectoren e1, e2, e3, … , en :


Een basis van Rn = elke deelverzameling van vectoren uit Rn waarvoor elke x ε Rn op juist
één manier geschreven kan worden als lineaire combinatie van die vecoren.
➢ Standaardbasis van Rn = de basis van Rn met de standaardbasisvectoren.


4

Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:

Qualité garantie par les avis des clients

Qualité garantie par les avis des clients

Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.

L’achat facile et rapide

L’achat facile et rapide

Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.

Focus sur l’essentiel

Focus sur l’essentiel

Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.

Foire aux questions

Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?

Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.

Garantie de remboursement : comment ça marche ?

Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.

Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?

Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur amelie_vd. Stuvia facilite les paiements au vendeur.

Est-ce que j'aurai un abonnement?

Non, vous n'achetez ce résumé que pour €8,99. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.

Peut-on faire confiance à Stuvia ?

4.6 étoiles sur Google & Trustpilot (+1000 avis)

62890 résumés ont été vendus ces 30 derniers jours

Fondée en 2010, la référence pour acheter des résumés depuis déjà 14 ans

Commencez à vendre!
€8,99  24x  vendu
  • (2)
  Ajouter